Myślisz, że zadania z dwusieczną kąta to czysta teoria? Pomyśl jeszcze raz. Umiejętność ich rozwiązywania bardzo się przydaje przy projektowaniu optymalnej pozycji paneli fotowoltaicznych. Dwusieczną wykorzystują też rolnicy by zapewnić sadzonym roślinom jak najlepsze doświetlenie i uniknąć zacieniania ich przez sąsiednie. Pomyśl o tym, oglądając nasz film. A może przyjdą Ci do głowy jeszcze inne praktyczne zastosowania? Czym jest dwusieczna kąta i jakie ma właściwości mówimy w innym filmie tej playlisty. W tym skupmy się na zadaniach. Zaczynamy! Zadanie pierwsze. Wykorzystując dane z rysunku oblicz wartość x. Przyjrzyj się rysunkowi. Co na nim widzisz? Trójkąt ABC, jego dwa boki o długościach 6 i 9 dwa kąty o jednakowej mierze i biegnący między nimi odcinek AD oraz punkt D leżący na trzecim boku trójkąta - BC. A czy z tego rysunku da się wywnioskować coś więcej? Skoro oba kąty przy wierzchołku A są takie same, to znaczy, że odcinek AD leży na dwusiecznej tego kąta. Możemy więc zastosować tu twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie które szczegółowo wyjaśniamy w innym filmie tej playlisty. Przypomnijmy je. W dowolnym trójkącie dwusieczna kąta wewnętrznego dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków przyległych. W naszym trójkącie oznacza to, że zachodzi proporcja: CD do AC równa się DB do AB czyli (x - 1) ma się do sześciu tak jak x ma się do dziewięciu. Rozwiązując proporcję mnożymy wyrazy na krzyż. 6 razy x oraz (x - 1) razy 9. Otrzymujemy: 6x równa się 9 razy (x - 1). 6x przepisujemy, a po prawej stronie mnożymy dziewiątkę razy nawias. 9 razy x to 9x 9 razy minus 1 to minus 9. Otrzymujemy 6x równa się 9x odjąć 9. Przenosimy niewiadome na lewą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku. Otrzymujemy 6x odjąć 9x równa się minus 9. 6x odjąć 9x to minus 3x, a to równa się minus 9. Dzielimy obustronnie przez liczbę przy iksie czyli przez minus 3 i otrzymujemy wynik: x równa się 3. Gotowe! Warto jeszcze sprawdzić obliczenia. Skoro x to 3, to x minus 1 daje 2. Nasza proporcja przyjmuje postać: 2 do 6 równa się 3 do 9. Skracając oba ułamki: ten oraz ten, zobaczymy że proporcja zmieni się w 1/3 równa się 1/3. Teraz mamy pewność że nasze rozwiązanie jest poprawne. Kolejne zadanie - po orzeszku. Wykaż, że jeśli dwusieczna kąta trójkąta jest jednocześnie środkową tego trójkąta to ten trójkąt jest równoramienny. Zacznijmy od przypomnienia pojęć. Dwusieczna dzieli kąt na połowy. Środkowa łączy wierzchołek kąta ze środkiem przeciwległego boku. Zaczynamy od rysunku trójkąta i oznaczenia jego wierzchołków. To, że trójkąt jest równoramienny mamy dopiero wykazać, więc na razie udajemy, że tego nie wiemy. Zaznaczmy na nim odcinek łączący wierzchołek A z bokiem BC. Ten punkt oznaczmy jako D. Odcinek AD ma się pokrywać z dwusieczną tego kąta, czyli dzielić go na dwa równe kąty. Oznaczmy każdy z nich jako alfa. Ma być też środkową trójkąta czyli dzielić odcinek BC na dwa równe odcinki. Jeśli są tej samej długości, oznaczmy je tą samą literą, na przykład x. Czas wykorzystać twierdzenie o dwusiecznej. Skoro AD jest dwusieczną to zachodzi proporcja: CD do AC jest takie samo jak DB do AB. Odcinek CD oznaczyliśmy jako x podobnie jak odcinek BD. Wstawmy więc iksy do naszej proporcji. x przez AC równa się x przez AB. Jeśli wykonamy mnożenie na krzyż otrzymamy: x razy AB równa się x razy AC. X powtarza nam się po obu stronach równania możemy więc przez niego podzielić obustronnie. Otrzymujemy, że AB jest równe AC. Co to oznacza? Że boki AB i AC są tej samej długości Czyli?... Nasz trójkąt jest równoramienny co należało wykazać. Przejdźmy do kolejnego zadania. Obwód trójkąta równoramiennego ABC jest równy 90 cm. Dwusieczna kąta przy podstawie AB dzieli ramię BC na odcinki CD i BD dla których CD do BD jest tak jak 4:1. Oblicz długości boków trójkąta ABC. Nie mamy tu rysunku więc to od niego zacznijmy. Ty rób to razem z nami na kartce. Narysujmy dowolny trójkąt równoramienny najlepiej tak, aby podstawa była na dole. Czas narysować we właściwych miejscach wszystkie informacje z zadania i odpowiednio je opisać. W naszym trójkącie podstawą ma być odcinek AB, czyli to są wierzchołki A i B a więc tu musi być C. Dwusieczna ma wychodzić z jednego z wierzchołków przy podstawie wiemy jednak, że ma podzielić ramię BC. To znaczy, że musi wychodzić z wierzchołka A. Narysujmy ją, pamiętając że dwusieczna dzieli nam ten kąt na dwa równe kąty. Nasza dwusieczna ma podzielić bok BC na dwa odcinki: CD i BD, czyli tu jest punkt D. Z treści wiemy jeszcze, że CD w stosunku do DB ma się jak 4:1. To znaczy, że odcinek CD jest 4 razy dłuższy od DB, czyli jeśli długość DB oznaczymy jako x to długość CD będzie równa 4x. W naszym przypadku odcinek CD jest tylko odrobinę dłuższy od odcinka BD. Takie nieścisłości nie przeszkadzają w obliczeniach, ale jeśli je wyłapiesz warto rysunek dopasować do treści zadania choć w przybliżeniu. W naszym przypadku trójkąt musi być dużo wyższy, aby osiągnął zakładane proporcje. O, teraz wygląda przyzwoicie. Uff. Większość danych jest już na rysunku. Co dalej? Z jakich informacji jeszcze nie korzystaliśmy? Z tego, że obwód trójkąta wynosi 90 cm oraz z tego, że AD to dwusieczna kąta BAC. Czyli możemy i w tym zadaniu skorzystać z twierdzenia o dwusiecznej kąta. Jak by ono wyglądało? Ten odcinek ma się do tego, jak ten do tego. Brakuje nam informacji o tym i o tym odcinku. Ale zaraz... Ten jest przecież taki sam jak ten. Skoro ten ma łącznie 5x, to ten również. A podstawa? To trochę mniej intuicyjne ale mamy jeszcze obwód. Skoro wszystkie boki łącznie mają 90 to podstawę możemy zapisać jako 90 minus długość tego boku i długość tego boku, czyli... Tak, 90 odjąć 10x. W ten sposób na naszym rysunku wszystkie potrzebne do proporcji odcinki mamy zapisane za pomocą jednej niewiadomej. Możemy więc układać proporcję która stanie się równaniem z jedną niewiadomą. Ten odcinek do tego, czyli 4x do 5x ma się jak ten do tego czyli x do wyrażenia 90 odjąć 10x. Zaczynamy. Pamiętasz, od czego? Tak, od mnożenia na krzyż. 5x razy x równa się 4x razy (90 odjąć 10x). Po wymnożeniu dostajemy: 5x kwadrat równa się 360x odjąć 40x kwadrat. Jak widzisz, tym razem otrzymaliśmy równanie kwadratowe. W takim przypadku wszystkie wyrazy przenosimy na lewą stronę. 5x do kwadratu odjąć 360x + 40x kwadrat a po prawej stronie zostaje nam 0. Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy: 45x kwadrat odjąć 360x równa się 0. To równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego a więc możemy użyć delty lub zastosować szybką metodę i wyciągnąć x przed nawias. Otrzymujemy: x razy (45x - 360) równa się 0. Mamy więc x równe zeru lub (45x - 360) = 0. X zerem być nie może, bo to długość odcinka więc ta odpowiedź nie spełnia warunków zadania. Tu przenosimy 360 na prawo. Dzielimy obustronnie przez 45 i otrzymujemy wynik: x = 8. Gotowe. Może rzuciło Ci się w oczy, że wyciągając czynnik przed nawias można było od razu wyciągnąć 45x? Wydawałoby się, że to już koniec ale przeczytaj jeszcze raz polecenie. Brzmi ono: Oblicz długości boków trójkąta. Czeka nas zatem jeszcze trochę pracy ale ułatwi nam ją rysunek. Spójrz: bok AC ma długość 5x. Jeśli x to 8, to 5x to 40 cm. Tej samej długości jest bok BC bo nasz trójkąt był równoramienny. Pozostaje jeszcze obliczyć długość AB. 90 -odjąć 10 razy 8, czyli 90 odjąć 80 a to daje 10 cm. Podajemy odpowiedź: boki AC i CB mają po 40 cm a podstawa AB: 10 cm. A teraz zadanie dla Ciebie. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 10 i ramieniu długości 15. Poprowadzono w nim dwusieczną jednego z kątów przy podstawie. Na jakie odcinki ta dwusieczna dzieli ramię tego trójkąta? Wstrzymaj film i zmierz się z tym zadaniem samodzielnie. Kroki jakie wykonaliśmy: 1. Oznaczamy jeden z szukanych odcinków jako x, a drugi jako 15 odjąć x. 2. Korzystamy z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie. 3. Obliczamy x i tym samym jeden z szukanych odcinków. 4. Obliczamy drugi odcinek. Zapamiętaj: dwusieczna kąta w trójkącie dzieli ten kąt na połowy. Środkowa trójkąta łączy wierzchołek z środkiem przeciwległego boku. W trójkątach równoramiennych dwusieczna kąta między ramionami jest jednocześnie środkową i wysokością. Dwusieczna dzieli, ale pistacja łączy. Wiedzę z wielu dziedzin. Zachęcamy, dołącz do nas na pistacja.tv