Pierwiastek sześcienny - wprowadzenie

Legenda mówi, że za czasów Platona wyspę Delos nawiedziła zaraza. Wyrocznia przekazała Grekom słowa Apolla, że choroba ustanie, gdy jego ołtarz zostanie powiększony dwukrotnie, zachowując kształt sześcianu. Upłynęło ponad 2 tysiące lat, a do tej pory problem nie ma rozwiązania, w którym dałoby się wykorzystać tylko cyrkiel i linijkę. Jak się zapewne domyślasz, mimo tego zaraza dawno wygasła. Problemu ołtarza Apolla raczej nie rozwiążemy dlatego weźmy sobie jakiś prostszy przykład. Mamy taką kostkę. Pokolorowaliśmy na niej wszystkie elementy, czyli kostki jednostkowe. Czy potrafisz powiedzieć z ilu małych kostek składa się ta kostka? Spróbujmy to sobie policzyć. Najpierw rozłóżmy tę kostkę na 3 plastry. Widzimy, że każdy z tych trzech plastrów ma trzy rzędy. W każdym rzędzie mamy po 3 elementy. Oznacza to, że w każdym plastrze mamy 3 razy 3, czyli 3 do kwadratu elementów. W całej kostce mamy 3 plastry więc objętość kostki składa się z 3 razy 3 razy 3 elementów. Możemy to też zapisać jako 3 do potęgi trzeciej elementów. Co daje nam 27 małych kostek jednostkowych. A gdybyśmy odwrócili sytuację? Jak obliczyć długość krawędzi sześcianu złożonego 27 kostek jednostkowych? Zastanawiamy się, jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi da nam 27. Jedyną taką liczbą jest trzy. Matematycy zapisują to jako pierwiastek trzeciego stopnia z 27. Zapamiętaj: pierwiastek trzeciego stopnia z 27 jest równy trzem, bo 3 do potęgi 3 równa się 27. Ten pierwiastek nazywamy pierwiastkiem sześciennym. Nazwa pochodzi właśnie od sześcianu czyli naszej kostki. Pozwala on nam znaleźć liczbę która podniesiona do sześcianu czyli do potęgi trzeciej, da wynik który znajduje się pod pierwiastkiem. Teraz mamy rozsypane 64 kostki jednostkowe z których trzeba zbudować największy możliwy sześcian. Jak myślisz, jaka będzie długość jego krawędzi? Żeby znaleźć długość krawędzi tej kostki musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do trzeciej potęgi da nam 64. Matematycy zapisują taki problem jako pierwiastek trzeciego stopnia z sześćdziesięciu czterech. Wiesz ile on wynosi? Zatrzymaj film i zastanów się chwilę, a potem sprawdź, czy twój wynik jest taki sam, jak mój. Pierwiastek trzeciego stopnia z 64 jest równy 4 bo 4 do potęgi trzeciej równa się 4 razy 4 razy 4, równa się 64. Z poprzedniej planszy dowiedzieliśmy się już że możemy stosować zamiennie nazwę pierwiastek sześcienny i pierwiastek trzeciego stopnia. W tym przypadku kostka wyglądałaby tak. Widzimy, że każda z jej krawędzi wynosi 4. I to jest odpowiedź na pytanie zadane na początku. Mamy oś liczbową i zaznaczamy na niej liczby od zera do sześciu. Zaznaczmy teraz na osi liczbowej wartości następujących pierwiastków sześciennych. Wiemy już, że pierwiastek trzeciego stopnia z 64 jest równy czterem, bo 4 do potęgi trzeciej równa się 64. Zaznaczmy sobie ten pierwiastek na osi. Wcześniej mówiliśmy też o tym że trzy do potęgi trzeciej równa się 27 a więc pierwiastek trzeciego stopnia z 27 równa się trzem. Jego też zaznaczamy na osi. A co z zerem? Ile będzie wynosił pierwiastek trzeciego stopnia z zera? To oczywiście zero, bo zero do potęgi trzeciej równa się zero. Analogicznie pierwiastek trzeciego stopnia z jedynki wynosi 1, bo jeden do potęgi trzeciej równa się jeden. Poćwiczmy sobie teraz pierwiastkowanie na innych przykładach. Ile będzie wynosił pierwiastek trzeciego stopnia z ośmiu? Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie wykonać to działanie. Wynikiem jest oczywiście 2, bo 2 do potęgi trzeciej równa się 8. Następny przykład dla ciebie to pierwiastek trzeciego stopnia z 216. Zatrzymaj film i spróbuj go obliczyć. Potem włącz film ponownie i sprawdź czy twój wynik zgadza się z moim. Wynik to 6, bo 6 do potęgi 3 równa się 216. Kolejny niech będzie pierwiastek trzeciego stopnia ze 125. Ile wynosi? Wynik to 5, bo 5 do potęgi trzeciej równa się 125. Zostawmy teraz trochę wolnego miejsca na planszy i zmażmy to, co napisaliśmy. Zajmiemy się teraz liczbami ujemnymi. Czy z nich też możemy obliczyć pierwiastek sześcienny? Oczywiście. Dorysujmy sobie do naszej osi liczby ujemne minus 2 i minus 1. Spróbujmy policzyć, ile wynosi pierwiastek trzeciego stopnia z minus ośmiu. Będzie to minus 2, bo minus 2 do potęgi trzeciej to inaczej minus 2 razy minus 2, razy minus 2. Minus razy minus to plus, a plus razy minus to minus. Teraz obliczamy 2 razy 2 razy 2. To równa się 8 więc ostateczny wynik to minus 8. Teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie policzyć pierwiastek trzeciego stopnia z minus jedynki. Będzie to minus jeden ponieważ minus 1 do potęgi trzeciej to się równa minus 1 razy minus 1 razy minus 1, a to równa się minus 1. Wszystkie policzone przez nas pierwiastki zostały zaznaczone na osi liczbowej. Jak widzisz pierwiastki sześcienne możemy wyznaczać tak z liczb dodatnich jak i z ujemnych. Pierwiastek sześcienny to inaczej pierwiastek trzeciego stopnia. Aby znaleźć wynik takiego pierwiastkowania musisz się zastanowić, jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi da liczbę spod pierwiastka. Dla liczby 27 wynik wynosi 3 bo 3 do potęgi trzeciej równa się 27. Pierwiastek sześcienny z liczby minus 8 wynosi minus dwa, bo minus 2 do potęgi trzeciej równa się minus 8. Obejrzyj pozostałe filmy o pierwiastkach sześciennych, a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę: Pistacja.tv