Czy wiesz, że wśród wszystkich liczb naturalnych istnieje tylko 7 takich, których pierwiastek sześcienny jest równy sumie cyfr liczby podpierwiastkowej. Szkoda, że nie ma ich więcej... Mamy pierwiastek sześcienny z 250. W poprzednim filmie mówiliśmy o tym że nie wszystkie pierwiastki sześcienne są liczbami naturalnymi. W tym przykładzie mamy taką samą sytuację. Nie znamy liczby, która pomnożona przez siebie trzy razy, da 250. Spróbujmy zatem zapisać ten przykład wyciągając jak największy czynnik przed znak pierwiastka. Liczbę 250 możemy zapisać jako 125 razy 2. Wiemy już, że pierwiastek sześcienny ze 125 razy 2 to pierwiastek sześcienny ze 125 razy pierwiastek sześcienny z dwóch. Pierwiastek sześcienny ze 125 wynosi 5 więc ostatecznie zapisujemy że nasz pierwiastek trzeciego stopnia z 250 jest równy 5 pierwiastkom trzeciego stopnia z 2. Taki zabieg nazywamy wyłączaniem czynnika przed pierwiastek. Pozwala on nam zapisać liczbę w postaci iloczynu. Umiejętność ta jest przydatna szczególnie wtedy, gdy planujemy wykorzystać tę liczbę w innych działaniach. Teraz taki przykład. Pierwiastek sześcienny z 448. Aby było nam łatwiej, zapiszmy z boku sześciany kolejnych liczb naturalnych. Teraz możemy już zaczynać. Na jakie dwie liczby możemy rozłożyć ten pierwiastek sześcienny? Zapiszmy po kolei możliwe pary. Jeden razy 448 równa się 448 ale to nie rozwiązuje naszego problemu. Szukajmy dalej. Dwa razy 224 równa się 448 ale, jak widzimy, 224 nie występuje w naszej tabelce. Kolejna potencjalna para to 3 razy... ale nie ma takiej liczby całkowitej która pomnożona przez 3 dałaby 448. Dlaczego? Bo suma cyfr liczby 448 to 16 a 16 nie dzieli się przez trzy. Dalej mamy 4 razy 112 równa się 448. Liczby 112 także nie ma na naszej liście. 5 razy co da nam 448? Taka liczba naturalna nie istnieje bo liczba 448 nie dzieli się przez pięć. 6 razy...? Liczba 448 nie dzieli się również przez 6 bo musiałaby być wtedy podzielna przez 3 a nie jest. 7 razy 64 równa się 448. Spójrz tylko, udało nam się. Rozłożyliśmy właśnie liczbę 448 na dwie liczby siedem i sześćdziesiąt cztery. Liczba 64 występuje na naszej liście jako sześcian liczby cztery. Zapiszmy zatem już przy naszym przykładzie że pierwiastek sześcienny z 448 to pierwiastek sześcienny z 7 razy 64. Wiemy już, że 64 to 4 do potęgi trzeciej. Zapisujemy zatem: Pierwiastek trzeciego stopnia z 7 razy 4 do potęgi trzeciej. Dzięki własnościom pierwiastkowania możemy ten pierwiastek zapisać jako pierwiastek sześcienny z siedmiu razy pierwiastek sześcienny z czterech do potęgi trzeciej. Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby podniesionej do trzeciej potęgi to właśnie ta liczba. Otrzymujemy więc: 4 razy pierwiastek trzeciego stopnia z 7. W takiej sytuacji możemy pominąć znak mnożenia i zapisać po prostu: cztery pierwiastki trzeciego stopnia z 7. Zauważ, że te działania nie zawsze są proste. Sposób na rozwiązywanie takich trudniejszych przykładów pokażę ci na następnej planszy. Czy pamiętasz, jakie liczby nazywamy pierwszymi? Liczby pierwsze, to takie liczby naturalne które mają dokładnie dwa dzielniki jedynkę i samą siebie. Zestaw początkowych liczb pierwszych To 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i tak dalej... Umiejętność rozkładu liczby złożonej na czynniki pierwsze wykorzystamy do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka. Weźmy znany już z poprzedniej planszy pierwiastek trzeciego stopnia z 250. Zapisujemy liczbę spod pierwiastka, czyli 250 a obok niej - długą kreskę. Będzie symbolizowała dzielenie. Wiemy, że 250 dzieli się przez dwa. Zapisujemy dwójkę po prawej stronie a po lewej wynik dzielenia, czyli liczbę 125. 125 nie dzieli się przez 2 ani przez 3 ale dzieli się przez 5. 125 podzielić na 5 to 25. Wiemy, że 25 dzieli się przez 5. wynik to 5. Możemy jeszcze 5 podzielić na 5 i otrzymamy jeden. Zapisujemy więc, że nasz pierwiastek jest równy pierwiastkowi sześciennemu z 2 razy 5, razy 5, razy 5. Widzisz coś ciekawego? 5 razy 5 razy 5, to 5 do potęgi trzeciej więc pod pierwiastkiem mamy dwa razy pięć do potęgi trzeciej. Ostatecznie otrzymujemy, że nasz pierwiastek z 250 jest równy 5 pierwiastkom sześciennym z dwóch. Weźmy teraz nowy przykład. Pierwiastek sześcienny z 1080. Spróbuj rozwiązać go samodzielnie tak jak robiliśmy to przed chwilą a później sprawdź, czy twój wynik zgadza się z moim. Zaczynamy! 1080 podzielić na 2 to 540. Dalej: 540 podzielić na 2 to 270. 270 podzielić na 2 to 135. 135 nie dzieli się przez 2, ale dzieli się przez 3. 135 podzielić na 3 to 45. 45 podzielić na 3 to 15. 15 podzielić na 3 to 5, a 5 podzielić na 5 to 1. Wpisujemy nasze czynniki pod pierwiastki i otrzymujemy, że pierwiastek trzeciego stopnia z 1080 jest równy pierwiastkowi sześciennemu z 2 razy 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 3 razy 5. Widzimy, że jest to 2 do potęgi trzeciej razy 3 do potęgi trzeciej, razy 5. Teraz możemy rozdzielić otrzymany wynik na trzy pierwiastki. Mamy pierwiastek sześcienny z 2 do potęgi trzeciej razy pierwiastek sześcienny z 3 do potęgi trzeciej razy pierwiastek sześcienny z pięciu. Pierwiastek sześcienny z 2 do potęgi trzeciej to 2, a z 3 do potęgi trzeciej, to 3. Otrzymujemy 2 razy 3 razy pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu, a to równa się sześciu pierwiastkom trzeciego stopnia z 5. Skracając sobie zapis, możemy po prostu zakreślać liczby uzyskane w rozkładzie na czynniki, w kółeczka po trzy. Wtedy od razu otrzymujemy liczby które będą pod pierwiastkiem w trzeciej potędze więc można je będzie wyłączyć przed znak pierwiastka. Pozostałe liczby, które nie będą występować trójkami, zapisujemy pod pierwiastkiem. Spójrz na planszę. Mamy tu pierwiastek sześcienny z 750 dodać pierwiastek sześcienny z sześciu dodać pierwiastek z sześcienny z 48. Czy wiesz, jaki będzie wynik? Nie można dodawać do siebie tych pierwiastków, bo mają różne liczby podpierwiastkowe, ale możemy wyłączyć czynniki przed znaki pierwiastków i sprawdzić, czy wtedy będziemy mogli tę sumę zapisać inaczej. Zajmijmy się najpierw pierwiastkiem sześciennym z 750. 750 podzielić na 2 to 375. 375 nie dzieli się przez 2, ale dzieli się przez 3. Otrzymujemy 125. 125 dzieli się przez 5. Mamy 25. 25 podzielić na 5 to 5, a 5 podzielić na 5 to jeden. Teraz pierwiastek trzeciego stopnia z 6 6 podzielić na 2 to 3. 3 podzielić na 3 to jeden. I już. Teraz pierwiastek sześcienny z 48. 48 dzieli się przez 2, a wynik to 24. 24 podzielić na 2 to 12. 12 znowu dzielimy przez 2 i mamy 6. Dalej jest jak w poprzednim pierwiastku: 6 podzielić na 2 to 3 i 3 podzielić na 3 to 1. W każdym z rozłożonych pierwiastków znajdujemy trójki liczb i zaznaczamy je w kółeczkach. Widzimy, że pierwiastek sześcienny z 750 to 5 pierwiastków trzeciego stopnia z 2 razy 3. Dalej mamy pierwiastek sześcienny z 6. Nie udało nam się znaleźć trzech takich samych liczb w rozkładzie dlatego zapisujemy go jako pierwiastek sześcienny z 2 razy 3. Ostatni mamy pierwiastek sześcienny z 48. Możemy go zapisać jako 2 pierwiastki sześcienne z 2 razy 3. W takim zapisie dobrze widać że wszędzie mamy pierwiastki z tej samej liczby: dwa razy trzy, czyli sześć. W takiej sytuacji bez problemu możemy wykonać dodawanie. 5 dodać 1 dodać 2 to 8 więc wartość naszego wyrażenia to 8 pierwiastków sześciennych z sześciu. W tej lekcji dowiedzieliśmy się, jak wyłączać czynnik przed pierwiastek sześcienny. Wyłączanie czynnika zawsze ułatwia a czasem wręcz umożliwia dalsze działania na liczbach, które mieliśmy pod pierwiastkiem. Obejrzyj pozostałe filmy o pierwiastkach sześciennych a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv