Zastanawiałem się kiedyś, ile kart potrzebuję aby zbudować stupiętrowy domek z kart. Dzięki temu wyrażeniu mogę policzyć ile potrzebuję kart dla mojego domku. Dla 100 pięter to ponad 15 tysięcy kart. Narysowałem tutaj oś liczbową na której zaznaczyłem liczbę 1. Kolejne liczby na osi będę zaznaczał skacząc o dwie liczby w prawo. Z liczby 1 skaczę na liczbę 3 z liczby 3 skaczę na liczbę 5 z liczby 5 na liczbę 7. Jaka będzie następna liczba? Dziewięć. Znowu przesuwam się o dwie liczby w prawo. Zastanówmy się teraz jaką liczbę zaznaczymy po 10 skokach. Po pierwszym skoku mieliśmy liczbę 3 po drugim 5 po trzecim 7 po czwartym 9. Możesz dalej na osi zaznaczać kolejne skoki piąty szósty siódmy ósmy dziewiąty i dziesiąty. Czy wiesz jaką liczbę zaznaczymy po dziesiątym skoku? 19 dodać 2 to 21. Odpowiedzmy sobie teraz na takie pytanie: Jaką liczbę zaznaczymy po 50 skokach? Mógłbym zaznaczać kolejne liczby na osi ale zajęłoby mi to strasznie dużo czasu dlatego pokażę ci, w jaki inny sposób możesz odpowiedzieć na to pytanie. Będziemy teraz poszukiwać zależności która występuje między tymi liczbami na osi. Pytanie, które postawię, brzmi: Jaką liczbę zaznaczymy po n skokach gdzie n może być dowolną liczbą skoków? Odpowiedź na to pytanie pozwoli nam wyprowadzić ogólną zależność. Przyjrzyjmy się pierwszym czterem skokom. Zaczęliśmy od liczby 1. Podczas pierwszego skoku dodaliśmy do niej 2. Podczas drugiego skoku także dodaliśmy liczbę 2. Podczas trzeciego skoku także dodaliśmy liczbę 2 i podczas czwartego skoku także dodaliśmy liczbę 2. Dlatego zależność, którą wyprowadzimy będzie wyglądała w następujący sposób: Do jedynki dodajemy pewną liczbę dwójek. Zauważ, że tych dwójek dodajemy dokładnie tyle ile jest skoków. Gdy mieliśmy 4 skoki dodaliśmy raz, dwa, trzy cztery dwójki. Dodaję tyle dwójek Ile jest skoków. Dzięki tej zależności mogę odpowiedzieć na pytanie: Jaką liczbę zaznaczymy po 50 skokach? Do naszej ogólnej zależności w miejsce litery n, czyli liczby skoków wstawię liczbę 50. Otrzymam wtedy 1 plus 2 razy 50. Pamiętając o kolejności wykonywania działań otrzymujemy 101. Po 50 skokach zaznaczymy liczbę 101. Tym razem zajmiemy się figurami które można ułożyć z zapałek. Spójrz, tutaj ułożyłem kwadrat i użyłem do tego 4 zapałek. Z zapałek mogę także zbudować dwa kwadraty. Do dwóch kwadratów potrzebuję o jedną, dwie trzy zapałki więcej niż do zbudowania jednego kwadratu. Spójrz: tutaj mam pierwszy kwadrat a tutaj dodatkowe zapałki. Zatem wszystkich zapałek potrzebuję 4 plus 3 czyli 7. Mogę zbudować także trzy kwadraty. Przyjrzyj się tej figurze i zastanów się ile zapałek potrzebujemy do jej zbudowania. Potrzebujemy o trzy zapałki więcej niż w poprzedniej figurze. 4 zapałki Plus 3 dodatkowe i jeszcze 3 dodatkowe zapałki. Razem wszystkich zapałek jest 4 plus 3, plus 3 czyli 10. Aby zbudować figurę złożoną z czterech kwadratów potrzebujemy o trzy zapałki więcej niż w poprzedniej figurze jedną, dwie, trzy czyli wszystkich zapałek jest 4 plus trzy plus trzy i plus trzy dodatkowe zapałki. Zastanów się przez chwilę czy widzisz jakąś zależność między kolejnymi figurami zbudowanymi z zapałek. Zwróć uwagę na pewną rzecz. Do zbudowania każdej kolejnej figury potrzebujemy o trzy zapałki więcej. Dzięki temu odkryciu możemy odpowiedzieć na takie pytanie: Ile zapałek potrzebujemy do wykonania takiego wzoru, gdzie mamy n kwadratów? Patrząc na to matematycznym okiem możemy zauważyć, że liczba zapałek to jest suma liczby 4 oraz pewnej liczby trójek. Tutaj dodaliśmy dwie trójki tutaj dodaliśmy trzy trójki ale czy potrafimy powiedzieć ile tych trójek jest? Jest ich o jedną mniej niż kwadratów na rysunku. Zobacz: tutaj mieliśmy dwa kwadraty i dodajemy jedną trójkę tutaj mieliśmy trzy kwadraty i dodajemy dwie trójki tutaj mieliśmy cztery kwadraty i dodawaliśmy trzy trójki. Zawsze o jedną trójkę mniej niż jest wszystkich kwadratów. Wykorzystam tę wiedzę do zapisania ogólnej zależności. Do liczby 4 dodajemy pewną ilość trójek. Tych trójek jest dokładnie o jedną mniej niż mamy kwadratów. Dzięki tej zależności możemy odpowiedzieć na takie pytanie: Ile zapałek potrzebujemy do wykonania takiego wzoru, gdzie mamy 10 kwadratów? Zapisaliśmy zależność na ilość zapałek gdy mamy n kwadratów. Skoro mamy ich 10 wystarczy że w miejsce litery n wpiszę 10. Otrzymam wtedy 4 plus 3 razy 10 odjąć 1. Pamiętając o kolejności wykonywania działań otrzymam 4 plus 3 razy 9 czyli 31. Możesz przeliczyć, że tych zapałek jest dokładnie 31. Są takie wielkości w matematyce które układają się w przewidywalny sposób. Na przykład liczby parzyste liczby nieparzyste albo liczby podzielne przez 5. Chcesz wiedzieć więcej? Obejrzyj pozostałe filmy o sumach algebraicznych i zajrzyj na naszą stronę Pistacja.tv.