Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest proporcjonalność odwrotna,
  • jak rozpoznać wielkości odwrotnie proporcjonalne,
  • jaka jest stała wielkość w proporcjonalności odwrotnej,
  • jak obliczyć wartość niewiadomą wartość w proporcjonalności odwrotnej.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Lotto to najbardziej popularna gra liczbowa w Polsce. Najwięcej, bo prawie 60.000.000 zł można było wygrać w maju 2016 roku. Jednak przez to, że wygraną trzeba było podzielić na 3 osoby, nie była to największa wygrana w historii. Najwyższa wygrana, czyli niecałe 37 milionów padła w marcu 2017 roku. W tym filmie dowiesz się, dlaczego wygrana na jedną osobę maleje gdy liczba zwycięzców rośnie. Na ekranie widzisz dwa stosy książek. W każdym ze stosów jest sześć takich książek. Oczywiście wszystkich książek jest 2 razy 6 czyli 12, ale powiedzmy, że nasze stosy przez swoją wysokość nie są zbyt stabilne. Chcielibyśmy rozłożyć książki na więcej stabilniejszych stosów. Powiedzmy na trzy. Ile wtedy będzie książek w każdym z tych trzech nowych stosów? Oczywiście, w każdym będą cztery książki. Ale być może one są za ciężkie dla nas i chcielibyśmy je rozłożyć na jeszcze więcej lżejszych stosów. Powiedzmy na cztery. Ile wtedy książek będzie w każdym z tych czterech stosów? W każdym stosie będzie wtedy po 3 książki. Możesz łatwo zauważyć, że jeżeli zwiększamy liczbę stosów, liczba książek w jednym stosie maleje. Ażeby przyjrzeć się temu dokładniej przedstawmy to w tabelce. Teraz możemy wyraźnie zauważyć że jeżeli liczba stosów rośnie na przykład z dwóch do czterech, czyli dwukrotnie, to liczba książek w jednym stosie maleje z sześciu do trzech, czyli maleje dwukrotnie. I ile razy zwiększymy liczbę stosów tyle samo razy liczba książek w jednym stosie zmaleje. W ostatnim filmie opowiadałem o wielkościach wprost proporcjonalnych. Tam jedna wielkość rosła tyle samo razy co druga wielkość. Tutaj mamy na odwrót, czyli jedna wielkość rośnie tyle samo razy, co druga maleje. Takie wielkości nazywamy wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. W ostatniej kolumnie tabelki możesz zauważyć że jest jedna wielkość która nigdy się nie zmienia. W naszym przykładzie jest to liczba wszystkich książek. Jest ona równa zawsze iloczynowi dwóch wielkości, które są odwrotnie proporcjonalne. Tak więc iloczyn dwóch wielkości które są odwrotnie proporcjonalne jest zawsze wartością stałą. Pokażę ci teraz kilka wielkości. Sprawdź, czy są one odwrotnie proporcjonalne. Czy objętość wypitego napoju i objętość napoju pozostałego w butelce, to są wielkości odwrotnie proporcjonalne? Przypuśćmy, że masz litrową butelkę napoju. Po jakimś czasie dokonujesz pomiaru. Okazuje się, że wypiłeś już 100 ml napoju. Oczywiście w butelce pozostało: jeden litr odjąć 100 ml, czyli 900 ml. Po dłuższym czasie postanowiłeś dokonać pomiaru jeszcze raz. Okazało się, że wypiłeś już 700 ml napoju 7 razy więcej, niż w poprzednich obliczeniach Natomiast ilość pozostałego napoju to jest litr odjąć 700 ml, czyli 300 ml. Jak się więc zmieniła ilość pozostałego napoju w porównaniu do ostatniego pomiaru? Oczywiście ilość pozostałego napoju zmalała trzykrotnie, bo 300 to 900 przez 3. Jak widzisz jedna wielkość, czyli ilość napoju wypitego, zwiększyła się siedmiokrotnie, a jednocześnie druga wielkość, czyli ilość pozostałego napoju, zmniejszyła się trzykrotnie. Tak więc możemy stwierdzić, że te dwie wielkości nie są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. A czy liczba osób malujących pokój i czas malowania tego pokoju to są wielkości odwrotnie proporcjonalne? Załóżmy, że jedna osoba cały pokój mogłaby wymalować w 24 godziny. A jak długo ten sam pokój malowałyby 3 osoby? Załóżmy, że wszystkie osoby są tak samo dobrymi malarzami i nie przeszkadzają sobie nawzajem. Oczywiście, 3 osoby malowałyby ten pokój w 24 przez 3, czyli w 8 godzin. Bardzo łatwo możemy stwierdzić również że cztery osoby wymalowałyby ten pokój w 24 na 4, czyli w 6 godzin. Czy widzisz już pewne zależności między tymi wielkościami? Czy widzisz, do czego to zmierza? Możemy ogólnie napisać, że n osób wymalowałoby ten pokój w 24 na n godzin. Zauważ: ile razy zwiększamy liczbę osób, tyle samo razy zmniejsza się liczba godzin potrzebnych do wymalowania pokoju. Tak więc te dwie wielkości są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Rozwiążmy teraz proste zadanie związane z proporcjonalnością odwrotną. Sok jabłkowy został rozlany do 6 butelek o pojemności 0,75 litra każda. Jaka powinna być pojemność jednej butelki aby sok zmieścił się w trzech butelkach? Z treści zadania wiemy, że w 6 butelkach o pojemności 0,75 l każda zmieścił się nasz cały sok. Ile zatem mamy tego soku? Zatrzymaj film i policz to samodzielnie. Oczywiście, żeby policzyć ilość soku musimy pomnożyć przez siebie liczbę butelek i pojemność jednej butelki. Mnożymy więc 6 razy 0,75 litra co daje nam cztery i pół litra. Mamy więc do rozlania cztery i pół litra soku. Oczywiście ta wartość się nie zmienia więc jest wartością stałą. Skoro ilość soku to wartość stała a jednocześnie jest to iloczyn liczby butelek i pojemności jednej butelki, to znaczy, że liczba butelek i pojemność jednej butelki to są wielkości odwrotnie proporcjonalne. 4,5 litra soku chcemy rozlać do trzech butelek. Żeby policzyć objętość jednej takiej butelki wystarczy podzielić 4,5 przez ich liczbę. Tak więc dzielimy 4,5 na trzy co daje nam półtora litra. Pojemność każdej z tych trzech butelek to właśnie półtora litra. Spróbujmy teraz rozwiązać zadanie troszkę trudniejsze związane z proporcjonalnością odwrotną. Pani Zosia wraca samochodem z pracy do domu poruszając się ze średnią prędkością 60 kilometrów na godzinę. Droga ta zajmuje jej zwykle jedną godzinę i 10 minut. W piątek jechała o 20 minut krócej. Z jaką średnią prędkością pani Zosia wracała do domu w piątek? W treści zadania mamy do czynienia z takimi wielkościami, jak droga, prędkość, czas tak, że zapewne możesz się domyślać że będziemy mieli do czynienia ze wzorem na prędkość. Jeżeli jeszcze nie zapamiętałeś tego wzoru nic strasznego. Wystarczy, że spojrzysz na jednostkę prędkości. Są to kilometry na godzinę. Oznacza to, że coś mierzone w kilometrach Musimy podzielić przez coś co jest mierzone w godzinach. Tak więc prędkość jest to droga przez czas. Po przekształceniu: droga to prędkość razy czas. W skrócie: S równa się v razy t. Zauważ, że w jednostce prędkości występuje godzina, natomiast w treści zadania mamy czasy podane w godzinach i minutach. Ażeby w obliczeniach posługiwać się tą samą jednostką zamieńmy minuty na godziny. Zacznijmy od godziny i 10 minut. Czy wiesz, jaka to część godziny? Zatrzymaj film i zamień jednostki samodzielnie. Jedna godzina i 10 minut to oczywiście jedna i 10/60 godziny. Dostajemy więc jedną całość i jedną szóstą godziny, natomiast 20 minut to 20/60 godziny. Po skróceniu: 1/3. Możemy teraz bardzo łatwo policzyć czas powrotu pani Zosi do domu w piątek. Zatrzymaj film i zrób to samodzielnie. Oczywiście, żeby policzyć ten czas musimy od jednej całości i 1/6 odjąć 1/3 czyli inaczej od 7/6 odjąć 2/6 co daje nam 5/6 godziny. Zauważmy, że droga pani Zosi do domu czy w piątek, czy w inny dzień tygodnia się nie zmienia. Droga s jest wartością stałą ale ta droga jest równocześnie iloczynem dwóch wielkości: wielkości v i t. Wynika z tego, że te dwie wielkości: prędkość i czas, są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi. Zapiszmy teraz drogę pani Zosi do domu na dwa sposoby. Wiemy, że zwykle pani Zosia pokonuje tę drogę w 7/6 godziny i porusza się z prędkością 60 km na godzinę czyli tę drogę możemy zapisać jako 60 razy 7/6, natomiast w piątek pokonuje tę drogę w czasie 5/6 godziny z prędkością v której nie znamy. Otrzymujemy równanie z którego wyznaczamy v. Zatrzymaj film i dokończ zadanie samodzielnie. Żeby pozbyć się ułamków pomnóżmy obie strony równania przez 6. Otrzymujemy 60 razy 7 równa się 5 razy v. Żeby wyliczyć v wystarczy podzielić obie strony teraz przez 5. Otrzymujemy: v równa się 60 razy 7 na 5. Po skróceniu sześćdziesiątki i piątki to 12 razy 7, czyli 84. Pani Zosia wracała więc do domu w piątek z prędkością 84 kilometrów na godzinę. Jeśli wraz ze wzrostem jednej wielkości druga wielkość maleje tyle samo razy to mówimy, że takie wielkości są odwrotnie proporcjonalne. Liczba stosów z książkami i liczba książek w jednym stosie są to wielkości odwrotnie proporcjonalne. Liczba wszystkich książek natomiast jest wartością stałą. Liczba butelek, do których rozlewamy sok i pojemność jednej butelki też są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, natomiast całkowita objętość soku jest wartością stałą. Jeśli spodobał ci się ten film zobacz pozostałe filmy na temat proporcji. Inne działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krystian Gulik

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska, Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Małgorzata Załoga, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
OpenClipart-Vectors (CC 0)
gustavofer74 (CC0)
Clker-Free-Vector-Images (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg