Wśród wielu interesujących przedstawicieli świata liczb można wyróżnić liczby palindromiczne. Są to takie liczby, które czytane od lewej i od prawej strony są jednakowe. Co ciekawe, każda liczba palindromiczna o parzystej liczbie cyfr jest podzielna przez 11 — sprawdź to samemu! Na początku mamy takie zadanie: znajdź dwie liczby, których suma wynosi 15, a różnica 7. Czego szukamy w danym zadaniu? Szukamy dwóch liczb. Jakich liczb? Takich, których suma wynosi 15 a różnica 7. Skoro szukamy dwóch liczb, to trzeba wprowadzić dwie odpowiednie niewiadome. Ja wykorzystam następujące oznaczenie: literą p oznaczę pierwszą liczbę a literą d — drugą liczbę. Wiemy, że suma tych dwóch liczb wynosi 15. Jak zapisać sumę liczb p i d? To będzie oczywiście p plus d. Różnica tych liczb wynosi 7. Jak zapisać różnicę liczb p i d? To będzie oczywiście p minus d. Zatrzymaj teraz film i spróbuj ułożyć odpowiedni układ równań. Potem porównaj go z moim. Suma tych dwóch liczb wynosi 15 to nasze pierwsze równanie. A różnica tych dwóch liczb wynosi 7 pamiętaj, aby oba równania w układzie równań, spinać klamerką! Zatrzymaj teraz film ponownie i spróbuj rozwiązać samodzielnie ten układ równań następnie porównaj swój wynik z moim. Zauważ, że przy d w obu równaniach stoją przeciwne współczynniki. Dlatego wykorzystam metodę przeciwnych współczynników i dodaję oba równania stronami. Otrzymuję takie równanie. Zauważ, że d nam się skróci. Po uproszczeniu otrzymuję że 2p równa się 22. Aby policzyć p, należy teraz podzielić obustronnie przez 2. p równa się 11. Suma p i d ma nam dać 15. Skoro p równa się 11 to d będzie równe 15 minus 11 czyli 4. Oto nasze dwie szukane liczby: 11 i 4. Ich suma wynosi 15 a ich różnica 7. Oto kolejne zadanie. Cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej jest 2 razy mniejsza od cyfry jedności. Jeżeli cyfry tej liczby przestawimy to otrzymamy liczbę o 27 większą od szukanej. Znajdź tę liczbę. Czego szukamy w danym zadaniu? Szukamy pewnej liczby dwucyfrowej. Możesz pomyśleć, że skoro szukamy jednej liczby to będziemy mieć jedną niewiadomą, ale tak nie jest. O czym mówi treść zadania? Jest mowa o cyfrze dziesiątek i o cyfrze jedności danej liczby. To oznacza, że naszymi niewiadomymi będą cyfra dziesiątek i cyfra jedności szukanej liczby a nie sama liczba jako całość. Literą d oznaczę cyfrę dziesiątek a literą j — cyfrę jedności. Jak zapisać liczbę dwucyfrową jako sumę dziesiątek i jedności? Pokażmy to na przykładzie liczby 28. Cyfrą dziesiątek jest w tym wypadku 2 a cyfrą jedności 8. 28 możemy zapisać w następujący sposób że jest to 2 razy 10 dodać 8 czyli 20 dodać 8. Dwójka jest cyfrą dziesiątek a ósemka cyfrą jedności. Każdą liczbę dwucyfrową możesz zapisać w takiej postaci. Cyfra dziesiątek razy 10 dodać cyfra jedności. W zadaniu jest mowa o przestawieniu cyfr. Jeśli przestawimy cyfry w liczbie 28 to otrzymamy liczbę 82. Zauważ, że cyfra jedności — 8 stała się teraz cyfrą dziesiątek. Natomiast cyfra dziesiątek, czyli 2 stała się teraz cyfrą jedności. 82 również możemy zapisać w taki sposób że jest to 8 razy 10 dodać 2. 8 jest cyfrą jedności naszej pierwotnej liczby — 28 Natomiast 2 jest cyfrą dziesiątek naszej pierwotnej liczby. Jeśli teraz w miejsce dwójki podstawimy literę d a w miejsce ósemki podstawimy literę j to otrzymamy 2 równania. Oto te 2 równania. Skoro wiemy już jak zapisać liczbę dwucyfrową jako sumę dziesiątek i jedności uporządkujemy zebrane dotychczas dane w jednej tabeli. Dotychczasowe informacje zebraliśmy tutaj. Czas ułożyć układ równań. Wiemy, że cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej jest 2 razy mniejsza od cyfry jedności. Jak to zapisać w postaci równania? Równanie wygląda następująco cyfra dziesiątek jest 2 razy mniejsza od cyfry jedności. Wiemy też, że po przestawieniu cyfr w tej liczbie dwucyfrowej otrzymamy liczbę o 27 większą od szukanej. Zastanówmy się, jak to zapisać. Po przestawieniu cyfr otrzymamy liczbę daną równaniem: 10j plus d. Nasza pierwotna liczba jest opisana równaniem 10d plus j. Wiemy, że ta liczba jest większa o 27 od tej. To również trzeba dopisać. Otrzymaliśmy nasz układ równań. Zatrzymaj teraz film i rozwiąż go samodzielnie. Potem porównaj swój wynik z moim. Ja wykorzystam metodę podstawiania i w miejsce d do drugiego równania podstawię 1/2j. Otrzymuję 10j plus 1/2j równa się 10 razy 1/2j dodać j dodać 27. Teraz upraszam drugie równanie. 10j dodać 1/2j to 10,5j. 10 razy 1/2j to 5j. Dodać j daje w rezultacie 6j. Teraz obustronnie odejmuję 6j w drugim równaniu. W ten sposób pozbędę się niewiadomej z prawej strony równania. Otrzymuję, że 4,5j równa się 27. Aby wyliczyć teraz j muszę podzielić obustronnie drugie równanie przez 4,5. Ostatecznie j równa się 6. Skoro d to 1/2j to d równa się 3. Cyfra dziesiątek naszej liczby to 3 a cyfra jedności to 6. Czy to koniec naszego zadania? Nie! Mieliśmy znaleźć liczbę dwucyfrową. Jaka liczba dwucyfrowa ma cyfrę dziesiątek 3 a cyfrę jedności 6? To oczywiście 36! To jest nasza szukana liczba. Liczbę dwucyfrową możemy zapisać jako sume dziesiątek i jedności. Dowolna liczba dwucyfrowa to cyfra dziesiątek razy 10 dodać cyfra jedności. Liczba o 2 mniejsza od x to x minus 2. A liczba 2 razy większa od x to 2x. Był to kolejny film z playlisty o zadaniach tekstowych wykorzystujących układy równań. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału na Youtubie — PistacjaMatematyka!