Grecki matematyk Diofantos uważany za ojca algebry jako pierwszy wprowadził symbole na oznaczenie niewiadomej i znak odejmowania. Na jego nagrobku nie podano wieku w którym zmarł, lecz zagadkę matematyczną która pozwala ten wiek wyznaczyć. W tym filmie zajmiemy się podobnymi zadaniami. Mamy do rozwiązania następujące zadanie: tata i córka mają razem 62 lata. 4 lata temu tata był 8 razy starszy od córki. Ile lat ma teraz każde z nich? Czego szukamy w danym zadaniu? Szukamy wieku taty i wieku córki. Wrowadzę następujące niewiadome: poprzez t oznaczę wiek taty obecnie a poprzez c — wiek córki obecnie. Dlaczego obecnie? Ponieważ mamy w treści zadanie informację o zależności między wiekiem taty a wiekiem córki 4 lata temu. Musimy w jakiś sposób zapisać ich wiek 4 lata temu wykorzystując nasze niewiadome t i c. W tym celu posłużymy się osią czasu. Na osi czasu mamy zaznaczoną przeszłość czyli 4 lata wstecz i teraźniejszość. Teraz wiek taty i córki wynosi odpowiednio t oraz c. Ile lat miał tata 4 lata temu? 4 lata mniej. Czyli t minus 4. A ile lat miała jego córka? Też 4 lata mniej czyli c minus 4. Wiek taty i córki 4 lata temu wynosił odpowiednio t minus 4 oraz c minus 4. Teraz możemy stworzyć układ równań. Z treści zadania wiemy że tata i córka mają razem 62 lata. Możemy z tego ułożyć pierwsze równanie. Teraz zatrzymaj film i spróbuj zapisać ten warunek w postaci równania. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Skoro tata i córka mają razem 62 lata to suma ich wieku daje w rezultacie 62 czyli t plus c równa się 62. Z treści zadania wiadomo też że 4 lata temu tata był 8 razy starszy od córki. 4 lata temu tata miał t minus 4 lat a córka c minus 4 lat. Tata był wtedy 8 razy starszy od córki czyli t minus 4 jest równe 8 razy c minus 4. Tak jak powiedzieliśmy wcześniej, 4 lata temu tata był 8 razy starszy od córki. Zatrzymaj teraz film ponownie i rozwiąż ten układ równań. Następnie porównaj swój wynik z moim. Pierwsze równanie przepisuję bez zmian. W drugim wymnażam 8 przez wyrażenie w nawiasie. 8 razy c to 8c natomiast 8 razy –4 to –32. Teraz upraszczam drugie równanie. Przerzucam 8c na lewą stronę a –4 na prawą stronę. Otrzymuję, że t minus 8c jest równe –28. Obustronnie wymnażam teraz drugie równanie przez –1 i otrzymuję –t plus 8c równa się 28. Zauważ, że przy t stoją przeciwne współczynniki, +1 oraz –1. Wykorzystam więc metodę przeciwnych współczynników. Dalsze zapiszę obliczenia po lewej stronie tam gdzie mam więcej miejsca. t dodać c minus t dodać 8c równa się 62 plus 28. t nam się zredukuje. c dodać 8c daje w rezultacie 9c natomiast 62 plus 28 daje w rezultacie 90. Aby otrzymać c, dzielę obustronnie przez 9 i otrzymuję, że c równa się 10. Teraz pozostaje nam obliczyć wiek taty. Podstawiam więc 10 w miejsce c do pierwszego równania. Otrzymuję, że t dodać 10 równa się 62. Odejmuję obustronnie 10 i ostatecznie uzyskuję, że t równa się 52. Gratulacje! Właśnie rozwiązaliśmy nasze zadanie. Obliczyliśmy wiek taty i wiek córki obecnie. Córka ma obecnie 10 lat, a tata 52 lata. Mamy do rozwiązania kolejne zadanie. Za 16 lat mama będzie 2 razy starsza od syna. Ile lat ma teraz każde z nich jeżeli 4 lata temu mama była 6 razy starsza od syna? Zobacz, to zadanie jest bardzo podobne do poprzedniego. Musimy się dowiedzieć ile lat ma matka, a ile syn. To będą nasze niewiadome. Poprzez m oznaczę wiek matki a poprzez s — wiek syna. Co mamy podane w treści zadania? Wiemy, że za 16 lat mama będzie 2 razy starsza od syna. To pierwsza informacja. Wiemy też, że 4 lata temu mama była 6 razy starsza od syna. To druga informacja. Musimy więc w jakiś sposób zapisać wiek matki i syna za 16 lat oraz 4 lata temu. Wykorzystajmy ponownie oś czasu. Teraz wiek matki oznaczyliśmy jako m a wiek syna jako s. 4 lata temu zarówno matka, jak i syn byli młodsi o 4 lata. Dlatego ich wiek to odpowiednio m minus 4 oraz s minus 4. Zatrzymaj teraz film i wykorzystując nasze niewiadome zapisz wiek matki i syna za 16 lat. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Natomiast za 16 lat matka i syn będą starsi o 16 lat. Dlatego ich wiek odpowiednio wyniesie m plus 16 oraz s plus 16. Potrzebujemy teraz jedynie układu równań. Zapiszę pierwsze z nich. Za 16 lat mama będzie 2 razy starsza od syna. To oznacza, że jeśli wiek syna wymnożymy przez 2 to otrzymamy wiek matki. Czyli m plus 16 równa się 2 razy s plus 16. Zatrzymaj teraz film i napisz drugie równanie do tego układu równań potem porównaj swój wynik z moim. Wiemy, że 4 lata temu mama była 6 razy starsza od syna. Czyli aby uzyskać jej ówczesny wiek należy wymnożyć ówczesny wiek syna przez 6. Oto nasz układ równań. Zatrzymaj teraz film i rozwiąż ten układ równań. Następnie porównaj swój wynik z moim. Najpierw wymnażam wyrażenia w nawiasie. 2 razy s to 2s, a 2 razy 16 to 32. Z kolei 6 razy s to 6s a 6 razy –4 to –24. Teraz od pierwszego równania odejmuję obustronnie 16. A do drugiego równania dodaję obustronnie 4. 16 po lewej stronie mi się zredukuje. 32 minus 16 daje w rezultacie 16. Po prawej stronie mamy 2s plus 16. 4 też mi się zredukuje. Po drugiej stronie otrzymuję –24 dodać 4, czyli –20. Teraz wykorzystam metodę podstawiania. Wiem już, że m to 2s plus 16 i jednocześnie m równa się 6s minus 20. Podstawiam 2s plus 16 w miejsce m do drugiego równania. Otrzymujemy, że 2s plus 16 to 6s minus 20. Po dalszym uproszczeniu tego równania otrzymuję, że 36 równa się 4s czyli s równa się 9. Teraz wystarczy jedynie obliczyć m podstawiając 9 w miejsce s do pierwszego równania. m to 2 razy 9 plus 16, czyli 18 plus 16 czyli ostatecznie m wynosi 34. Mama ma teraz 34 lata, a syn 9 lat. Na osi liczbowej możemy zaznaczyć wiek osób z zadania w chwili obecnej, w przeszłości i w przyszłości. Pamiętaj, że obie osoby są młodsze lub starsze o tyle samo lat. Jeśli ich wiek wynosił teraz m i s to 4 lata temu ten wiek był równy m minus 4 i s minus 4. Z kolei za 16 lat te dwie osoby będą miały odpowiednio m plus 16 i s plus 16 lat. Był to kolejny film z playlisty o zadaniach tekstowych wykorzystujących układy równań. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału na Youtubie — PistacjaMatematyka!