Kąty są wszędzie nie tylko w matematyce i technice. Masz przecież kąt w pokoju. Możesz w nim postawić gitarę. Możesz również mieszkać w Kątach. To miejscowość w województwie podkarpackim. W tym filmie opowiem Ci jak wykorzystać kąty w trójkącie do rozwiązania zadania tekstowego. Mamy takie zadanie: 2 kąty w trójkącie różnią się o 15 stopni. Jaką mają miarę, jeśli trzeci kąt w tym trójkącie ma 27 stopni? Co mamy znaleźć w danym zadaniu? Miarę dwóch pozostałych kątów w tym trójkącie. Co jest podane w treści? Na pewno wiemy, że trzeci kąt w tym trójkącie ma 27 stopni. Zaznaczmy go na rysunku. Ten kąt jest tutaj. Skoro musimy wyznaczyć miarę kątów to warto najpierw wiedzieć gdzie one się znajdują. Zaznaczmy je na naszym trójkącie. Ten kąt nazwę alfa, a ten kąt beta. Pewnie pamiętasz, że nazwy kątów w figurach oznacza się literami greckiego alfabetu. Czym są alfa i beta? To niewiadome, które musimy wyznaczyć. Co jeszcze jest podane w treści zadania? Wiemy, że 2 nieznane kąty w trójkącie różnią się o 15 stopni. Teraz zatrzymaj film. Spróbuj zapisać ten warunek w postaci równania, a następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Skoro 2 kąty różnią się o 15 stopni to znaczy, że jeden jest większy od drugiego o 15 stopni. Na moim rysunku większym kątem jest beta. W takim razie beta będzie o 15 stopni większa niż alfa. Można to zapisać w taki sposób: alfa plus 15 równa się beta. Jeżeli zapisałeś to w postaci beta minus alfa równa się 15 stopni to również jest to poprawne. No dobrze, ale mamy tylko jedno równanie i dwie niewiadome. Potrzebujemy ułożyć dodatkowe równanie. W treści zadania nie ma już więcej informacji podanych wprost jednak zadanie mówi o kątach w trójkącie. Jaką znasz zależność na kąty w trójkącie? Dokładnie tak! Ich suma wynosi 180 stopni. Zapiszmy to w postaci równania. Suma kątów w tym trójkącie to alfa dodać beta dodać 27 stopni. Łącznie daje to 180 stopni. Zatrzymaj teraz film ponownie i spróbuj rozwiązać ten układ równań. Następnie porównaj swój wynik z moim. Ja wykorzystam metodę podstawiania. Zobacz, wiemy że beta równa się alfa plus 15 stopni. Dlatego alfa plus 15 stopni wstawię w miejsce beta do drugiego równania. Otrzymuję takie równanie. Upraszczam je teraz. Alfa dodać alfa to 2 alfa. 15 stopni plus 27 stopni to 42 stopnie. Teraz obustronnie odejmuję 42 stopnie. 180 stopni minus 42 stopnie to 138 stopni. Żeby wyznaczyć alfę dzielę obustronnie to drugie równanie przez 2. 138 przez 2 to 69. Otrzymuję więc, że alfa równa się 69 stopni. Aby wyznaczyć beta, wstawiam teraz 69 stopni w miejsce alfy do pierwszego równania. Otrzymuję, że beta jest równa 69 stopni plus 15 stopni czyli ostatecznie miara kąta beta wynosi 84 stopnie. Wyznaczyliśmy miary kąta beta i kąta alfa. Czy to koniec zadania? Tak! Proszono nas o wyznaczenie dwóch miar nieznanych kątów. Proste, prawda? Zrobiliśmy właśnie zadanie o trójkącie. Przejdźmy teraz do zadania o czworokątach. Wiemy, że obwód prostokąta ma 28 centymetrów. Jeżeli jeden z boków skrócimy o centymetr a drugi bok wydłużymy o centymetr to otrzymamy kwadrat. Oblicz długość boków tego prostokąta. Czego szukamy w danym zadaniu? Długości boków danego prostokąta. Narysujmy więc ten prostokąt. Wprowadźmy też odpowiednie niewiadome. Dłuższy bok prostokąta nazwę a a krótszy bok prostokąta nazwę b. Czy wiemy coś o tym prostokącie? Tak! Zobacz, obwód prostokąta ma 28 centymetrów. Na podstawie tej informacji możemy ułożyć pierwsze równanie. Zatrzymaj teraz film i spróbuj zrobić to samodzielnie. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Obwód prostokąta to suma długości wszystkich jego boków. Czyli 2 razy a dodać 2 razy b. Ta suma wynosi 28 centymetrów. To nasze pierwsze równanie. Co wiemy jeszcze z treści zadania? Wiemy, że jeżeli jeden z boków prostokąta skrócimy o centymetr a drugi bok wydłużymy o centymetr to otrzymamy kwadrat. Narysujmy więc ten kwadrat. Bok a był dłuższy dlatego on będzie skrócony o centymetr. Natomiast bok b był krótszy. On zostanie wydłużony o centymetr. Czy wiesz może, jakie równanie możemy teraz ułożyć? Boki w kwadracie są równe czyli a minus 1 jest równe b plus 1. To będzie nasze drugie równanie. Dobrze. W takim razie skoro mamy już układ równań najwyższa pora go rozwiązać! Zatrzymaj film i zrób to sam. Następnie porównaj swój wynik z moim. Najpierw upraszczam drugie równanie i obustronnie dodaję 1. Pierwsze równanie pozostaje bez zmian. Natomiast w drugim otrzymuję że a równa się b plus 2. Zobacz, że mogę teraz wykorzystać metodę podstawiania. W miejsce a do pierwszego równania podstawię b plus 2. Podstawiłem. Teraz upraszczam pierwsze równanie i wykonuję mnożenie elementów w nawiasie. 2 razy b to 2b a 2 razy 2 to 4. Dalej upraszczam pierwsze równanie 2b dodać 2b to 4b. Teraz obustronnie odejmuję 4. Otrzymuję, że 4b to 24. W jaki sposób obliczyć teraz b? Należy obustronnie podzielić to równanie przez 4. Otrzymuję, że b równa się 6. Podstawiam więc 6 w miejsce b do drugiego równania i otrzymuję, że a równa się 6 plus 2. Ostatecznie wyszło mi że długość boku b wynosi 6 centymetrów a długość boku a to 8 centymetrów. Czy to koniec zadania? Sprawdźmy w jego treści o co nas proszono. Mieliśmy obliczyć długość boków tego prostokąta. Zrobiliśmy to! Zauważ, że w tym, tak jak i w poprzednim przykładzie, do rozwiązania zadania oprócz danych podanych w treści, przydała się wiedza o podstawowych zależnościach geometrycznych. Tutaj o obwodzie prostokąta i o własnościach boków w kwadracie a w poprzednim zadaniu o własnościach kątów w trójkącie. W zadaniach geometrycznych trzeba się zastanowić jakie informacje mamy podane. Jeśli znamy kąty to układamy równanie o kątach. Jeśli znamy obwód to układamy równanie o obwodzie. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o zadaniach wykorzystujących układy równań. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty oraz do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku Pistacja Matematyka!