Różne metale można stapiać ze sobą tworząc nowe stopy. W ten sposób powstają brąz i mosiądz. Również używane na co dzień ozdoby ze złota i srebra są stopami metali. Z tego filmu dowiesz się jak obliczyć masę składników potrzebnych do uzyskania konkretnej ilości mieszaniny. Mamy takie zadanie. Zmieszano 2 rodzaje syropu. Jeden zawierał 70% cukru, a drugi 20%. Po zmieszaniu otrzymano 10 kilo syropu o zawartości 50% cukru. Oblicz, ile syropu każdego rodzaju użyto do sporządzenia końcowego roztworu. O co jesteśmy proszeni w tym zadaniu? O wyznaczenie mas syropów przed zmieszaniem. Jakie to syropy? Jeden zawiera 70% cukru a drugi 20% cukru. Ja trzymam te syropy w dwóch garnkach. W tym garnku jest syrop zawierający 70% cukru, a w tym syrop zawierający 20% cukru. Co zrobiono z tymi syropami? Zmieszano je i otrzymano trzeci syrop. Co wiemy o syropie znajdującym się w tym największym garnku? Wiemy, że po zmieszaniu otrzymano 10 kilo syropu zawierającego 50% cukru. Znamy nie tylko zawartość cukru ale również masę całego syropu to 10 kilogramów. Skoro mieszamy 2 różne rodzaje syropów to suma ich mas powinna dawać 10 kilogramów. Wprowadźmy teraz pewne niewiadome. Masę pierwszego syropu oznaczę jako x a masę drugiego syropu oznaczę jako y. Teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie napisać równanie określające zależność mas tych roztworów. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Suma mas dwóch syropów to x dodać y. Ma to się równać 10. Dlatego nasze pierwsze równanie jest następujące: x dodać y równa się 10. Pamiętaj, że na masę całego syropu składa się masa cukru oraz masa wody. Teraz musimy ułożyć drugie równanie. Co jeszcze mamy podane w treści zadania? Zawartości cukru. Zauważ, że jeśli zsumujemy ilość cukru w pierwszym roztworze i ilość cukru w drugim roztworze to otrzymamy ilość cukru w trzecim roztworze. To będzie nasze drugie równanie. Najpierw napisaliśmy masę syropu. Teraz wypiszemy masę cukru. Jak myślisz, ile cukru jest w pierwszym syropie? Zawiera on 70% cukru a jego masa wynosi x. W takim razie ilość cukru to 70% razy x. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wypisać masy cukru dla dwóch pozostałych roztworów. Następnie porównaj swój wynik z moim. Drugi syrop waży y i zawiera 20% cukru czyli jest w nim 20% razy y cukru. Natomiast trzeci syrop waży 10 kilogramów i jest w nim 50% cukru czyli 50% razy 10. Ułóżmy teraz drugie równanie. Drugie równanie opisuje zależność na masę cukru. Możemy już utworzyć nasz układ równań jednocześnie zamieńmy procenty na ułamki dziesiętne. 70% to 0,7 20% to 0,2 a 50% razy 10 to 5. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie rozwiąż ten układ równań. Następnie porównaj swój wynik z moim. Ja na początku mnożę obustronnie drugie równanie przez –5. Dlaczego przez –5? Zobacz, 0,2 razy –5 to –1. Wtedy będę miał przy y przeciwne współczynniki. 0,7 razy –5 to –3,5. 0,2 razy –5 to –1 a 5 razy –5 to –25. Tak jak powiedziałem Ci przed chwilą przy y mamy teraz przeciwne współczynniki dlatego korzystam z metody przeciwnych współczynników. Upraszczam teraz otrzymane równanie. y nam się skróciły, tak jak oczekiwaliśmy. x minus 3,5x to –2,5x natomiast 10 minus 25 to –15. Aby wyznaczyć teraz x dzielę obustronnie przez –2,5. x to –15 przez –2,5. Minusy nam się skrócą czyli x to 15 przez 2,5. Ten ułamek jest taki sam, jak 150 przez 25 a 150 przez 25 co możesz łatwo sprawdzić, to 6. Teraz, aby wyznaczyć y, podstawiam 6 w miejsce x do pierwszego równania. Otrzymuję, że 6 dodać y to 10. Aby obliczyć y, odejmuję obustronnie 6 i ostatecznie otrzymuję, że y równa się 4. Masa pierwszego roztworu wynosi 6 kilogramów, a masa drugiego roztworu 4 kilogramy. A oto kolejne zadanie: ile srebra próby 750 i srebra próby 950 należy stopić, aby otrzymać 100 gramów srebra próby 800? W poprzednim przykładzie mieszaliśmy syropy. Tutaj będziemy tworzyć mieszaninę stopów — stopów srebra. U mnie srebro będzie w formie sztabek. Łączymy te dwie sztabki i co otrzymujemy? Otrzymujemy 100 gramów srebra próby 800. Wprowadźmy teraz odpowiednie niewiadome. Pierwsza sztabka niech waży x a druga y. Łączna masa tych dwóch sztabek daje 100 gramów. To pierwsze równanie. Zastanówmy się teraz czym jest ta tajemnicza próba stopu? Biżuteria złota albo srebrna nie jest wykonana z czystego kruszcu. Jest to mieszanina kilku metali. Próba mówi, jak wiele metalu szlachetnego przypada na 1000 gramów stopu. Na 1000 gramów sztabki próby 750 przypada 750 gramów czystego srebra. Dla próby 950 jest to 950 gramów srebra na 1000 gramów sztabki. I tak dalej. Zaznaczmy teraz próby srebra na naszym rysunku. Ta sztabka to srebro próby 750 ta próby 950 a ta próby 800. Skoro ta sztabka waży x to ile będzie w niej czystego srebra? To będziesz 750/1000 razy x. Tak jak mówiłem wcześniej próba mówi, ile czystego srebra jest w tysiącu gramach stopu. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wypisz ile czystego srebra jest w dwóch pozostałych sztabkach. Następnie porównaj swój wynik z moim. W tej sztabce będzie 950/1000 razy y czystego srebra a w tej 800/1000 razy 100 gramów czystego srebra. W liczniku ułamka jest próba stopu w mianowniku 1000, a wszystko mnożymy przez masę danej sztabki. Możemy teraz ułożyć drugie równanie. Zauważ, że suma mas czystego srebra z pierwszej i z drugiej sztabki jest równa masie czystego srebra w trzeciej sztabce. Oto nasze drugie równanie. Utworzę teraz odpowiedni układ równań i zamienię te ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne. Oto nasz gotowy układ równań. Zatrzymaj teraz film i rozwiąż go samodzielnie. Potem porównaj swój wynik z moim. Ja wymnażam pierwsze równanie przez –0,75. Będę miał wtedy przeciwne współczynniki przy x-ie. Po wymnożeniu mogę skorzystać z metody przeciwnych współczynników. Redukuję teraz otrzymane równanie. 0,95y minus 0,75y to 0,2y. Natomiast –75 plus 80 to 5. Aby wyznaczyć y dzielę teraz obustronnie przez 0,2. y to 5 przez 0,2 albo inaczej 50 przez 2, czyli 25. Po podstawieniu teraz dwudziestu pięciu do pierwszego równania otrzymuję że x plus 25 wynosi 100. Ostatecznie x równa się 75 a y równa się 25. Przy mieszaniu roztworów czy stopów możemy napisać równania na całkowitą masę roztworów czy stopów oraz na masę substancji rozpuszczonej. W syropie o stężeniu 70% masa cukru stanowi 70% masy całego syropu. W tysiącu gramach stopu srebra próby 750 jest 750 gramów czystego srebra. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o zadaniach wykorzystujących układy równań. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty i do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv