Średnia arytmetyczna

Czasami w serwisach informacyjnych dziennikarze mówią o tak zwanej średniej krajowej, lub o przeciętnym wynagrodzeniu. Przykładowo w pierwszym kwartale 2018 roku przeciętne wynagrodzenie wyniosło 4622 złote i 84 grosze. Czy wiesz, co oznacza pojęcie średnia krajowa? Po obejrzeniu tej lekcji będziesz wiedział, jak obliczyć średnie zarobki grupy osób. Grupa dzieci wybiera się na biwak. 3 osoby z grupy mają ze sobą kartony soku. Bartek ma 14 kartonów, Tomek ma 4 kartony, a Kasia ma 12 kartonów. Te dzieci chcą podzielić między siebie kartony w taki sposób, aby każdy musiał przenieść taki sam ciężar, żeby na każde dziecko przypadała taka sama liczba kartonów. Czy wiesz, co zrobić, żeby się dowiedzieć, ile kartonów do niesienia przypadnie każdej osobie? Wystarczy dodać do siebie wszystkie kartony, a następnie podzielić je przez liczbę osób. Zatrzymaj teraz film i wykonaj obliczenia samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Liczymy. Dodajemy do siebie 14, 4 i 12, a wynik podzielimy przez 3, ponieważ mamy 3 osoby. Dzielenie przedstawiam w postaci kreski ułamkowej. Wynik dodawania nad kreska ułamkową to 30. 30 dzielę przez 3. Uzyskuję wynik 10. To oznacza, że każde dziecko będzie musiało przenieść 10 kartonów. Liczba 10 jest innymi słowy średnią arytmetyczną liczby kartonów przyniesionych przez te osoby. Średnią arytmetyczną na pewno znasz ze swojego życia. Na koniec roku szkolnego dowiadujesz się, jaką masz średnią arytmetyczną ocen. Przyjrzyjmy się świadectwu szkolnemu Kasi. Żeby otrzymać świadectwo z paskiem, trzeba mieć średnią ocen przynajmniej 4 i 75 setnych. Czy Kasia otrzyma świadectwo z paskiem? Czy wiesz, jak obliczyć średnią arytmetyczną ocen ze świadectwa? Wystarczy dodać do siebie wszystkie oceny, a następnie podzielić wynik przez liczbę ocen. Zatrzymaj teraz film i oblicz samodzielnie tę średnią. Możesz użyć do tych obliczeń kalkulatora. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Liczymy. Dodajemy do siebie wszystkie oceny Kasi. Otrzymaną sumę podzielimy przez liczbę ocen, to znaczy przez 13. Suma ocen to 63. 63 dzielimy przez 13. Wykonuję to dzielenie na kalkulatorze. W okienku kalkulatora widzę następujący wynik: 4,8461 i dalej inne cyfry. Uzyskaną liczbę zamierzam porównać z liczbą 4 i 75 setnych, od której zależy pasek na świadectwie. Zapiszmy te dwie liczby obok siebie. Czy wiesz, która z nich jest większa, a która mniejsza? Zwróć uwagę, że w liczbie 4 i 75 setnych na miejscu części dziesiętnych stoi cyfra 7, zaś w naszej średniej arytmetycznej na miejscu części dziesiętnych stoi cyfra 8. 8 to więcej niż 7. To oznacza, że średnia arytmetyczna ocen Kasi jest większa niż 4 i 75 setnych, czyli Kasia otrzyma świadectwo z paskiem. Średniej arytmetycznej można użyć, by określić średnią temperaturę w pewnym okresie, na przykład w czwartym tygodniu grudnia pewnego roku. Spójrz na wykres. Na osi poziomej widzisz oznaczone kolejne dni tygodnia: poniedziałek, wtorek i tak dalej. Na osi pionowej widzisz wartości temperatury w południe w Warszawie, w stopniach Celsjusza. Ten punkt oznacza, że w poniedziałek temperatura wynosiła 6 stopni Celsjusza. Widzisz, że jedna z wartości temperatury jest dodatnia (powyżej zera). Jedna wynosi dokładnie zero, a reszta to wartości ujemne (poniżej zera). Obliczając średnią arytmetyczną możemy dodawać do siebie tak liczby dodatnie, jak i ujemne. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie oblicz średnią temperaturę z tego okresu korzystając z danych umieszczonych na wykresie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Dodajemy wszystkie wartości temperatury, a następnie dzielimy wynik przez 7, ponieważ tydzień ma 7 dni i mieliśmy 7 wartości temperatury. Zwróć uwagę, że jedna z wartości wynosiła 0. 0 nie ma wpływu na wynik dodawania, a jednak ma wpływ na średnią arytmetyczną, ponieważ 0 jest jedną z 7 wartości, które dodajemy do siebie. Suma nad kreską ułamkową wynosi -7, a -7 dzielone przez 7 to -1. Średnia temperatura w tamtym tygodniu wynosiła więc -1 stopień Celsjusza. Czy potrafisz już sformułować ogólny wzór na średnią arytmetyczną? Zobacz. S to nasza średnia arytmetyczna, którą chcemy uzyskać. Aby obliczyć średnią arytmetyczną wystarczy dodać do siebie wszystkie składniki, a następnie otrzymaną sumę podzielić przez liczbę składników. Ten sam wzór mogę zapisać w bardziej symbolicznej postaci. Litery a to kolejne składniki, kolejne dane, które będziemy dodawać. Przykładowo: pierwsza ocena, druga ocena, trzecia ocena i tak dalej, do ostatniej oceny. Na dole wpisujemy liczbę składników. Na przykład wpisujemy 8, jeśli mieliśmy 8 ocen. Zauważ, że litera n w tym wzorze musi w tym miejscu oraz w tym miejscu oznaczać tę samą liczbę. Jeżeli mieliśmy 8 ocen, to ostatnia ocena jest ósmą oceną. Dolny indeks tym miejscu wynosiłby 8. Wiesz już, jak obliczać średnią arytmetyczną. Teraz kolejne zadanie dla ciebie. Przedstawiam ci grupę 10 uczniów. Pod każdą osobą podpisany jest czas, jaki ta osoba przeznacza dziennie na odrabianie lekcji. Policz samodzielnie, jaki czas średnio przeznacza na pracę domową uczeń tej grupy. Zauważ przy tym, że mamy różne jednostki czasu i że jedna godzina ma 60 minut. Daj sobie na to chwilę, a potem wróć do naszego filmiku i porównaj swój wynik z moim. Zaczynam od zamiany jednostek. Ja zdecydowałam, że przeliczam wszystkie podane wartości na minuty. Tak jest mi znacznie łatwiej, niż zamieniać każdą wartość na godziny. Możesz jednak podjąć inną decyzję i pozamieniać wszystkie wartości na godziny. Wtedy musisz wyrazić minuty w ułamku jako część godziny. Pamiętaj o tym, że jedna minuta stanowi 1/60, a nie 1/100 godziny. Wszystkie podane wartości wyrażam w minutach i dodaję je do siebie. Następnie tę sumę podzielę przez 10, ponieważ grupa liczy 10 osób. Wynik dodawania to 760. Kiedy mam już sumę wszystkich minut dzielę ją przez 10. Uczeń tej grupy przeznacza dziennie średnio 76 minut na pracę domową. Ile to godzin? Zobaczmy. Jedna godzina ma 60 minut, czyli w naszym wyniku godzina mieści się jeden raz. Zostało nam jeszcze 16 minut. Wynik to jedna godzina 16 minut. Średnią arytmetyczną obliczamy dzieląc sumę wszystkich składników przez ich liczbę. Możemy też podać ogólny wzór na średnią arytmetyczną, gdzie kolejne litery a oznaczają składniki, zaś litera n oznacza liczbę składników. Jeżeli chcesz lepiej opanować średnią arytmetyczną, obejrzyj kolejny film z tej playlisty. Zapraszam cię również do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube.