Wojtek bierze udział w teleturnieju. Dociera do pytania za 32000 zł. Żeby zainkasować tę sumę musi wiedzieć, która z liczb jest sumą innych dwóch liczb, które są kwadratami liczb całkowitych. Odpowiedzi to A: 16, B: 25, C: 36 i D: 49. Decyduje się skorzystać z pomocy publiczności. Połowa pytanych wybiera odpowiedź A. Czy idąc za głosem publiczności Wojtek zagwarantuje sobie wygraną? Widzisz ogród w kształcie trójkąta prostokątnego. Stoisz w punkcie A. Chcesz dojść do punktu B nie depcząc roślin. Dochodzisz do wniosku, że idąc wzdłuż krawędzi tego ogrodu możesz dojść do punktu B na 2 sposoby: idąc wzdłuż przyprostokątnych bądź idąc wzdłuż przeciwprostokątnej. Ciekawi cię, która droga będzie krótsza i o ile. Postanawiasz zatem liczyć kroki. Przejście krótszej przyprostokątnej zajmuje ci 6 kroków, a dłuższej 8 kroków. Został jeszcze spacer wzdłuż przeciwprostokątnej. Wyobraź sobie teraz, że przy niej jest ogromne błoto, a ty masz białe buty. Nie chcesz ich pobrudzić. Chcesz wciąż wiedzieć, czy ta trasa byłaby dłuższa czy też krótsza i o ile. Jeśli pamiętasz nierówność trójkąta to wiesz, że suma dwóch dowolnych boków w trójkącie jest zawsze większa niż długość trzeciego. A jak obliczyć o ile? Tutaj z pomocą przychodzi nam twierdzenie Pitagorasa. Oznaczmy liczbę kroków z punktu A do punktu B wzdłuż przeciwprostokątnej literą x. Zatrzymaj lekcję i zapisz równanie obrazujące twierdzenie Pitagorasa w tym trójkącie prostokątnym. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej. W tym trójkącie długości przyprostokątnych to 6 i 8, a długość przeciwprostokątnej to x. Otrzymujemy zatem, że 6 do kwadratu dodać 8 do kwadratu równa się x do kwadratu. Naszym zadaniem jest obliczenie x. Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie. 6 do kwadratu to 36. Do tego dodajemy 8 do kwadratu, czyli 64. Ta suma jest równa x do kwadratu. 36 dodać 64 to 100. 100 równa się x do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 100? 10. 10 równa się x. Ale to nie jedyna liczba, która po podniesieniu do kwadratu da nam liczbę 100. Drugą jest minus 10. Tego rozwiązania jednak nie bierzemy pod uwagę. A dlaczego? Długość nie może być liczbą ujemną. Zauważ, że dzięki twierdzeniu Pitagorasa wiesz już, że idąc z punktu A do B wzdłuż przeciwprostokątnej i licząc kroki wyszłoby ci ich 10. Ta trasa jest zatem o 4 kroki krótsza niż ta trasa. Teraz przyjrzymy się nieco innej sytuacji. Idziesz wzdłuż dłuższej przyprostokątnej i naliczasz 8 kroków. Następnie idziesz wzdłuż przeciwprostokątnej i robisz 10 kroków. Ile kroków zrobisz idąc wzdłuż krótszej przyprostokątnej? Odpowiedź na to pytanie nie jest tajemnicą, bo z poprzedniego przykładu pamiętasz, że 6. Sprawdźmy jednak, czy da się otrzymać tę liczbę bez liczenia kroków, rozwiązując odpowiednie równanie. Nie znamy długości krótszej przyprostokątnej, więc oznaczamy ją na przykład literą y. Spróbuj teraz samodzielnie zapisać odpowiednie równanie korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy następujące równanie. y do kwadratu dodać 8 do kwadratu równa się 10 do kwadratu. Otrzymujemy y do kwadratu dodać 64 równa się 100. Zastanów się teraz, jaką liczbę należy dodać do 64 aby otrzymać 100. Ta liczba to 36. Wiemy zatem, że y do kwadratu równa się 36. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 36? 6. y równa się 6. Istnieje też druga liczba, która po podniesieniu do kwadratu da 36. Jest nią minus 6. Wiesz już jednak, że długość nie może być liczbą ujemną. W tym geometrycznym problemie mamy zatem jedną poprawną odpowiedź: 6. Widzisz, że wszystko się zgadza. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Tutaj również mamy do czynienia z ogrodem w kształcie trójkąta prostokątnego. Jego wymiary będą jednak inne niż w poprzednich przykładach. Wyobraź sobie, że idąc z tego miejsca do tego robisz 60 kroków, a z tego do tego 100 kroków. Widzisz, że to jest dużo większy ogród. Ile kroków zrobisz idąc z tego miejsca do tego? Oznaczmy tę niewiadomą literą z. Jeśli nie chce ci się tak długo iść, możesz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Po rozwiązaniu kilku przykładów możesz próbować przeprowadzać obliczenia w pamięci. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że 60 do kwadratu dodać z do kwadratu to 100 do kwadratu. Otrzymujemy 3600 dodać z do kwadratu równa się 10000. Jaką liczbę należy dodać do 3600, aby otrzymać 10000? 6400. z do kwadratu równa się 6400. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 6400? 80. z równa się 80. Podnosząc minus 80 do kwadratu też otrzymamy 6400, ale jeszcze raz powtórzę, że długość nie może być ujemna. Nie można zrobić minus 80 kroków. Zapiszmy jeszcze rozwiązanie na ilustracji. z równa się 80. Przejdźmy do ostatniego przykładu. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają 5 dm i 7 dm. Jaką długość ma przeciwprostokątna, którą oznaczono literą x? Spróbuj obliczyć ją samodzielnie. Od tego momentu w obliczeniach pominę jednostki długości. Wrócę do nich, gdy będę zapisywał odpowiedź. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że 5 do kwadratu dodać 7 do kwadratu to x do kwadratu. Otrzymujemy: 25 dodać 49 równa się x do kwadratu. 25 dodać 49 to 74 i to równa się x kwadrat. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 74? Nie znajdziemy liczby naturalnej, która po podniesieniu do kwadratu da nam 74. Będzie to po prostu pierwiastek z tej liczby. Zapisujemy zatem, że pierwiastek z 74 równa się x. Jeżeli podniesiemy minus pierwiastek z 74 do kwadratu, to również otrzymamy 74, ale nie możemy mieć minus pierwiastka z 74 dm. Długość nie może być ujemna! Zapisujemy zatem, że x równa się pierwiastek z 74 i tutaj dopisujemy odpowiednią jednostkę, czyli dm. Warto jeszcze sprawdzić, czy możemy wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka. W tym przypadku to niemożliwe. Ten przykład pokazuje, że nie zawsze wynikiem naszych obliczeń będzie liczba naturalna. Jeśli nie możemy znaleźć takiej liczby naturalnej, która po podniesieniu do kwadratu da nam liczbę spełniającą takie równanie, jakie liczyliśmy przed chwilą, to zapisujemy pierwiastek z tej liczby. Długość tej przeciwprostokątnej to pierwiastek z 74 dm. Możemy jednak oszacować wartość tego pierwiastka. Spróbuj to zrobić samodzielnie. Najpierw poszukajmy możliwie jak największej liczby mniejszej niż 74, której pierwiastek jest liczbą naturalną. Taką liczbą jest 64. Jej pierwiastek to 8. Teraz poszukajmy możliwie jak najmniejszej liczby większej niż 74, której pierwiastek jest liczbą naturalną. Taką liczbą jest 81. Pierwiastek z 81 to 9. Jaki z tego wniosek? Pierwiastek z 74 jest większy niż 8 i mniejszy niż 9. Zatem długość przeciwprostokątnej tego trójkąta jest większa niż 8 dm, ale mniejsza niż 9 dm. Szacowanie pozwala nam wyobrazić sobie długość danego odcinka. Łatwiej wyobrazić sobie odcinek o długości większej niż 8 dm i mniejszej niż 9 dm niż taki, którego długość to pierwiastek z 74, prawda? Jeśli będziesz grodzić ogródek, który ma kształt trójkąta prostokątnego wystarczy, że będziesz znać długość 2 boków. Z twierdzenia Pitagorasa obliczysz długość trzeciego boku. Powodzenia! Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o twierdzeniu Pitagorasa. Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej stronie pistacja.tv