Wysokość trójkąta równobocznego

Składając kwadratową kartkę papieru w ten sposób uzyskaliśmy trójkąt równoramienny. Czy jest on również równoboczny? Spróbuj samodzielnie wykonać takie doświadczenie i daj znać w komentarzu, jaka jest twoja odpowiedź. Zanim przejdziemy do omawiania wysokości w trójkącie równobocznym, przypomnijmy krótko własności trójkąta równobocznego. Po pierwsze, wszystkie boki muszą mieć równe długości. Po drugie, wszystkie kąty wewnętrzne muszą mieć dokładnie 60 stopni. Przypomnieliśmy sobie, jak rozpoznać trójkąt równoboczny. Spróbujmy uporać się z takim zadaniem. Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 4 cm. Skorzystajmy z własności, że w trójkącie równobocznym wysokość padająca na podstawę dzieli tę podstawę na dwa równe odcinki. W naszym przypadku oznacza to, że ten odcinek ma 2 cm oraz ten odcinek ma 2 cm. Zwróć także uwagę, że wewnątrz naszego trójkąta równobocznego znajdują się dwa trójkąty prostokątne. Rozsuńmy je. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć poszukiwaną przez nas wysokość. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Gdy dodamy długość jednej przyprostokątnej podniesioną do kwadratu do długości drugiej przyprostokątnej podniesionej do kwadratu, otrzymamy długość przeciwprostokątnej podniesioną do kwadratu. Po wykonaniu obliczeń otrzymamy 4 plus h kwadrat równa się 16. Czwórkę przenieśmy na prawą stronę. Da nam to h kwadrat równa się 16 minus 4. Po wykonaniu odejmowania otrzymamy h kwadrat równa się 12, czyli h to pierwiastek z 12. Pierwiastek z 12 możemy zapisać jako 2 pierwiastki z 3. Świetnie! Wyznaczyliśmy wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 4 cm. Zapamiętajmy ten wynik, bo jeszcze do niego wrócimy. Spróbujmy teraz wyznaczyć wzór na wysokość w trójkącie równobocznym. Jeżeli zapamiętasz ten wzór, w przyszłości będziesz mógł o wiele szybciej rozwiązywać zadania z trójkątami równobocznymi. Powtórzmy wcześniejsze obliczenia, ale zamiast konkretnych wartości będziemy mieli trójkąt o boku a. Wiemy, że wysokość h podzieliła podstawę tego trójkąta na dwa odcinki, każdy o długości jednej drugiej a. Teraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy naszą wysokość h. Zapiszmy: jedna druga a do kwadratu plus h do kwadratu da nam a do kwadratu. Po podniesieniu jednej drugiej a do kwadratu otrzymamy: jedna czwarta a kwadrat plus h kwadrat równa się a kwadrat. Jedną czwartą a kwadrat przenieśmy na prawą stronę. Otrzymamy wtedy h kwadrat równa się a kwadrat minus jedna czwarta a kwadrat. Da nam to z kolei h kwadrat równa się trzy czwarte a kwadrat. Trzy czwarte a kwadrat możemy również zapisać w takiej postaci: 3 a kwadrat przez 4. Aby pozbyć się potęgi drugiej, wykonajmy obustronne pierwiastkowanie. Pierwiastek z a kwadrat da nam a, pierwiastek z 3 da nam pierwiastek z 3, a pierwiastek z 4 da nam 2. Oznacza to, że wzór na wysokość w trójkącie równobocznym wygląda następująco: h równa się a pierwiastków z 3 przez 2. Spróbujmy teraz rozwiązać jeszcze raz zadanie z początku tego filmu. Brzmiało ono: oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku długości 4 cm. Tym razem skorzystamy ze wzoru, który wyznaczyliśmy przed chwilą. Pamiętamy, że h to wysokość a a to długośc boku trójkąta równobocznego. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć poszukiwaną przez nas wysokość. W tym zadaniu, długość boku trójkąta równobocznego wynosi 4 cm. Zatem za a podstawmy 4. Otrzymamy 4 pierwiastki z 3 przez 2 i po wykonaniu dzielenia otrzymamy 2 pierwiastki z trzech centymetrów. Zobacz: nieważne, czy zastosowaliśmy wzór, czy obliczyliśmy wysokość z twierdzenia Pitagorasa. Uzyskaliśmy taki sam wynik. Jednak stosując wzór zrobiliśmy to szybciej, dlatego warto go stosować. Spróbujmy teraz rozwiązać takie zadanie. Jaką długość ma bok trójkąta równobocznego o wysokości 3 pierwiastki z 3? Mamy też rysunek do tego zadania. Nie znamy długości boków tego trójkąta. Oznaczmy je jako a. Skorzystajmy z poznanego przed chwilą wzoru na wysokość trójkąta równobocznego. Skoro znamy wysokość naszego trójkąta, podstawmy odpowiednią wartość w miejsce h. Otrzymamy wtedy 3 pierwiastki z 3 równa się a pierwiastków z 3 przez 2. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć długość boku tego trójkąta. Chcemy wyznaczyć a. Zacznijmy od pozbycia się tego ułamka. Aby to zrobić, musimy obie strony równania pomnożyć przez 2. Da nam to 6 pierwiastków z 3 równa się a pierwiastków z 3. Teraz, chcąc wyznaczyć a, musimy pozbyć się pierwiastka z 3. Zrobimy to dzieląc obie strony równania przez pierwiastek z trzech. Da nam to ostatecznie, że a jest równe 6 jednostkom. Zaznaczmy to na rysunku. Jak widzisz, korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, mając odpowiednie dane Możemy wyznaczyć nie tylko wysokość danego trójkąta, ale także długość jego boku. Spróbujmy teraz odpowiedzieć na takie pytanie. W jakim stosunku punkt przecięcia się wysokości trójkąta równobocznego dzieli te wysokości? Zacznijmy od narysowania wszystkich wysokości trójkąta ABC. Pierwsza wysokość poprowadzona z punktu C na przeciwległą podstawę pod kątem prostym, druga wysokość poprowadzona z punktu A na przeciwległą podstawę, i trzecia wysokość poprowadzona z punktu B na przeciwległą podstawę. Zaznaczmy teraz punkt, w którym przecinają się wszystkie nasze wysokości. Oznaczmy ten punkt literką S. W trójkątach równoramiennych i równobocznych wysokość padająca na podstawę dzieli kąt przy wierzchołku na 2 równe kąty. Skoro kąt przy wierzchołku w trójkącie równobocznym ma 60 stopni, połowa kąta ma 30 stopni, czyli przy każdym wierzchołku powstały nam dwa kąty, każdy po 30 stopni. Dla czytelności naszych przyszłych rozważań pozwól, że zostawię tylko kąty po lewej stronie naszego trójkąta. Skupmy się teraz na trójkącie ADS. Oznaczmy długość odcinka DS jako x. Wiemy, że w trójkącie ADS jeden kąt ma 30 stopni, drugi ma 90 stopni, a zatem trzeci kąt musi mieć 60 stopni. Wynika to z sumy miar kątów w trójkącie. Świetnie. Znamy już miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ADS. Narysujmy teraz poziome odbicie lustrzane tego trójkąta. Powstanie nam wtedy trójkąt AGD. Zobacz, każdy z kątów wewnętrznych trójkąta AGS ma dokładnie 60 stopni. Możemy zatem stwierdzić, że trójkąt AGS jest trójkątem równobocznym. Zauważenie, że trójkąt AGS jest równoboczny pozwala nam stwierdzić kolejną bardzo istotną rzecz. Skoro połowę boku tego trójkąta oznaczyliśmy jako x, to długość całego boku musi wynosić 2x, prawda? Zapiszmy tę wartość przy boku AS. Oczywiście bok AG i bok SG również moglibyśmy podpisać jako 2x. Zauważmy, że wszystkie małe trójkąty są przystające. Przyjrzyjmy się trójkątom ADS oraz CFS. Odcinki AD i CF są równe, ponieważ stanowią połowę boku trójkąta równobocznego. Równe też są kąty do nich przyległe, 30 i 90 stopni. Stąd na mocy cechy kąt-bok-kąt trójkąty są przystające. Odcinki CS i AS znajdują się naprzeciwko kąta 90 stopni, więc jako odpowiednie odcinki w trójkątach przystających mają taką samą długość. Brakująca część wysokości ma więc długość 2x. Spójrz: punkt przecięcia dzieli wysokość DC na 2 części w stosunku dwa do jednego. Oczywiście moglibyśmy wykonać analogiczne działania dla pozostałych wysokości i otrzymalibyśmy identyczny stosunek. Zapiszmy zatem pierwszy wniosek. Punkt przecięcia dzieli wysokość na 2 części będące w stosunku dwa do jednego. Z tego wynika, że długość krótszej części stanowi jedną trzecią całej wysokości a dłuższej – dwie trzecie. Z naszych rozważań wynika, że w każdym trójkącie równobocznym odcinek od podstawy trójkąta do punktu przecięcia się wszystkich wysokości stanowi jedną trzecią wysokości całego trójkąta, a odcinek od punktu przecięcia się wszystkich wysokości do wierzchołka tego trójkąta stanowi dwie trzecie wysokości całego trójkąta. Aby obliczyć długość wysokości w trójkącie równobocznym, wystarczy znać długość boku. Na przykład długość wysokości w trójkącie równobocznym o boku a obliczymy ze wzoru: h równa się a pierwiastków z 3 przez 2. Jeśli chcesz być na bieżąco z naszymi najnowszymi materiałami, zachęcam cię do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube: pistacjamatematyka.