Trójkąt 30, 60, 90

Gdy kupujesz zestaw geometryczny znajdziesz tam linijkę, kątomierz i dwie ekierki. Gdy będziemy chcieli narysować trójkąt o kątach 30, 60, 90 możesz wziąć jedną z tych ekierek i odrysować gotowy trójkąt. Nasze rozważania na temat trójkątów o miarach kątów wewnętrznych wynoszących 30 stopni, 60 stopni oraz 90 stopni rozpocznijmy takim zadaniem. Oblicz długości pozostałych boków narysowanego trójkąta. W tym momencie znamy długość tylko tego boku tutaj. Wynosi ona 3 centymetry. Zacznijmy może od narysowania odbicia lustrzanego tego trójkąta. Zobacz, powstał nam trójkąt równoboczny. Wiemy o tym, bo każdy z kątów wewnętrznych ma dokładnie 60 stopni. Zobacz, tutaj mamy 60 stopni tutaj mamy 60 stopni tutaj także mamy 60 stopni bo 2 razy 30 daje dokładnie 60. Spójrzmy teraz na ten odcinek tutaj. Wychodzi on z tego wierzchołka i pada na przeciwległą podstawę pod kątem dziewięćdziesięciu stopni. Oznacza to, że ten odcinek jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta równobocznego. Wiemy również, że wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na którą pada na dwa równe odcinki. Oznacza to, że ten odcinek tutaj którego długość znamy stanowi połowę długości boku trójkąta równobocznego. Skoro połowa boku w naszym przypadku wynosi 3 centymetry no to długość całego boku trójkąta równobocznego będzie wynosić 6 centymetrów, prawda? Świetnie, pozostało nam już tylko wyznaczyć długość tego boku. Pamiętamy, że ten bok jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego. Najszybszą metodą na wyznaczenie długości tego odcinka będzie skorzystanie ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć wysokość tego trójkąta. W miejsce a podstawiamy długość boku naszego trójkąta a wiemy, że ta długość wynosi 6. Zatem otrzymamy 6 pierwiastków z trzech przez 2 i po wykonaniu tego dzielenia otrzymamy 3 pierwiastki z trzech centymetrów. Umieśćmy tę wartość na rysunku. Bardzo dobrze poradziliśmy sobie z tym zadaniem. Spróbujmy teraz rozważyć przypadek ogólny. Zacznijmy od oznaczenia długości tego boku jako x. Pamiętamy, że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na którą pada na dwa równe odcinki. Zatem skoro długość tego boku oznaczyliśmy jako x no to długość tego boku musimy oznaczyć jako 2x. Pozostało nam już tylko wyznaczyć długość tego odcinka który jak wiemy jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego zatem obliczymy tę wysokość ze wzoru. Za a podstawiamy długość tego boku czyli 2x. Widzimy, że dwójki się skrócą. Otrzymamy zatem x pierwiastków z trzech. Zapiszmy tę wartość na rysunku. Dla przejrzystości zostawmy na ekranie wyłącznie trójkąt 30, 60, 90 oraz długości boków tego trójkąta. Wyznaczone przez nas wartości w przypadku ogólnym obrazują zależności między długościami boków w każdym trójkącie 30, 60, 90. A co to właściwie znaczy? Oznacza to, że bok leżący przy kącie 30 stopni i kącie 60 stopni zawsze będzie dwa razy dłuższy od boku leżącego przy kącie prostym i kącie 60 stopni. i analogicznie bok przy kącie 30 stopni i kącie prostym będzie pierwiastek z trzech razy dłuższy od boku leżącego przy kącie prostym i kącie 60 stopni. Jeśli zapomnisz, który bok, jest który to warto dorysować drugą połowę trójkąta równobocznego. Wróćmy do zadania z początku tego filmu żeby wypróbować poznane własności w praktyce. To zadanie brzmiało tak: oblicz długości pozostałych boków narysowanego trójkąta. I znaliśmy długość tego boku. Wynosiła ona 3 centymetry. Zatem nasz x jest równy trzem centymetrom. Skoro bok oznaczony literką x ma 3 centymetry to jaką długość będzie miał 2 razy dłuższy bok oznaczony jako 2x? Dokładnie tak. Ten bok będzie miał długość sześciu centymetrów. I wiemy, że ten bok ma być pierwiastek z trzech razy dłuższy od tego boku. Zatem jaką będzie miał on długość? Dokładnie tak. 3 pierwiastki z trzech centymetrów. Jak widzisz, stosowanie tych własności dla wyznaczania długości boków w trójkącie 30, 60, 90 znacznie będzie przyspieszać naszą pracę. Poćwiczymy teraz wyznaczanie długości boków w trójkątach 30, 60, 90. Mamy takie zadanie. Oblicz długości pozostałych boków podanych trójkątów. Nasz pierwszy przykład prezentuje się następująco. Skorzystajmy z takiego rysunku pomocniczego. Wyjątkowo obrócę ten trójkąt pomocniczy w taki sposób, aby łatwiej było nam odczytać zależności pomiędzy poszczególnymi długościami. Co my tu mamy? Widzimy, że odcinek leżący przy kącie 60 stopni oraz kącie prostym ma 2,5 centymetra. Temu odcinkowi w naszym trójkącie pomocniczym odpowiada ten odcinek. Wiemy zatem, że x równa się 2,5. Dzięki odpowiedniemu obróceniu trójkąta widzimy od razu, że ten odcinek tutaj odpowiada temu odcinkowi. Jaką długość będzie miał ten odcinek? Z zależności wiemy, że mamy tu 2x czyli 2 razy 2,5 i da nam to 5 centymetrów. A jaką długość będzie miał ten odcinek który znajduje się przy kącie 30 stopni i kącie prostym? Masz rację, 2,5 pierwiastka z trzech centymetrów. Bo wiemy, że ten odcinek musi być pierwiastek z trzech razy dłuższy od tego odcinka. Drugi przykład wygląda następująco. Tym razem nieco utrudnimy sobie zadanie i nie obracajmy trójkąta pomocniczego. Wiemy, że odcinek przy kącie 60 stopni i 30 stopni ma 12 metrów. Jakiemu odcinkowi w naszym trójkącie pomocniczym odpowiada ten odcinek? Masz rację. Temu odcinkowi, bo on także leży przy kącie 60 stopni i 30 stopni. Zatem wiemy, że te 12 metrów równa się 2x. Najłatwiej będzie nam teraz wyznaczyć długość tego boku. Po prostu 12 metrów podzielimy przez 2. Ale najpierw musimy ustalić jaki bok w tym trójkącie odpowiada temu bokowi. Mamy tu kąt 60 stopni i kąt prosty. W tym trójkącie bok przy kącie 60 stopni i kącie prostym znajduje się tutaj. Zatem wiemy, że ten bok ma 6 metrów bo musi być on 2 razy krótszy od tego boku. Pozostało nam już tylko ustalić jaką długość ma bok przy kącie prostym i kącie 30 stopni. Spójrzmy na rysunek pomocniczy. Widzimy tu, że przy kącie prostym i kącie 30 stopni mamy bok który spełnia następującą zależność. x pierwiastków z trzech. W naszym przypadku x wynosi 6. Zatem x pierwiastków z trzech będzie wynosić 6 pierwiastków z trzech. No i oczywiście nie możemy zapomnieć o metrach. I na koniec mamy taki przykład. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć długości pozostałych boków tego trójkąta. Znamy długość boku który leży przy kącie prostym i przy kącie 30 stopni. Jest to ten bok, który spełnia zależność x pierwiastków z trzech. Następnie skupmy się na boku przy kącie prostym i kącie 60 stopni. Zależność opisująca długość tego boku to x. Zatem skoro x pierwiastków z trzech wynosi 5 pierwiastków z trzech milimetrów to sam x będzie wynosił 5 milimetrów, prawda? Pozostało nam już tylko wyznaczyć długość boku leżącego przy kącie 60 stopni i 30 stopni. Wiemy, że bok leżący przy takiej parze kątów jest dwa razy dłuższy od boku leżącego przy kącie prostym i kącie sześćdziesięciu stopni. Nasz x wynosi 5 zatem 2x będzie wynosić 10 milimetrów. W trójkącie o kątach 30 stopni, 60 stopni i 90 stopni wystarczy znać długość jednego boku aby móc obliczyć długości pozostałych. Zachęcam Cię do obejrzenia pozostałych filmów z playlisty o trójkącie 30, 60, 90 oraz do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube.