Z tego filmu dowiesz się:

  • jak zastosować własności trójkąta 30, 60, 90?
  • jak obliczyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym?
  • jak obliczyć długość przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym?

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Kąt padania promieni słonecznych na kulę ziemską zmienia się w zależności od pory roku i pory dnia. Zacznijmy od takiego zadania: Oblicz pole prostokąta ABCD. Aby wyznaczyć to pole musimy znać długości boków naszego prostokąta. Zacznijmy od analizy rysunku. Zwróć uwagę, że wewnątrz naszego prostokąta powstał nam trójkąt prostokątny. Zaznaczmy w odpowiednim miejscu kąt prosty. Suma kątów w trójkącie to 180 stopni więc wiemy, że ostatni kąt ma miarę 60 stopni. Zaznaczmy tę wartość na naszym rysunku. Świetnie! Powstał nam trójkąt 30, 60, 90. Jak pamiętasz w trójkątach o takich kątach wewnętrznych zachodzą określone zależności między długościami boków takich trójkątów. Spójrzmy na nasz rysunek ponownie. Widzimy tu, że bok którego długość znamy bo wynosi ona 4 centymetry leży przy kącie 30 stopni i przy kącie 60 stopni. Ten bok odpowiada temu bokowi na rysunku pomocniczym, bo on także leży przy kącie 30 i 60 stopni. Możemy zatem zapisać że bok BD spełnia zależność 2x. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć długość boku BC oraz DC. Wiemy, że bok leżący przy kącie prostym oraz kącie 60 stopni, będzie dwa razy krótszy od boku, który leży przy kącie 30 i 60 stopni. Zatem w naszym przypadku bok DC jest dwa razy krótszy od boku BD. Pozwala nam to zapisać że B jest równe dwóm centymetrom. Natomiast bok leżący przy kącie prostym i kącie 30 stopni spełnia taką zależność. Skoro x w naszym przypadku wynosi 2 centymetry to x pierwiastków z trzech będzie równy dwóm pierwiastkom z trzech centymetrów. Świetnie! Wiemy już ile wynosi a oraz b zatem możemy bez problemu obliczyć pole prostokąta ABCD. Za a podstawimy 2 pierwiastki z trzech za b postawimy 2 i gdy wymnożymy 2 pierwiastki z trzech razy 2 otrzymamy 4 pierwiastki z trzech i nie możemy zapomnieć o odpowiedniej jednostce. W tym przypadku będą to centymetry kwadratowe. Treść drugiego zadania brzmi: Oblicz obwód trapezu równoramiennego ABCD. Na początku skorzystajmy z własności trapezu. Wiemy, że przy jednym ramieniu trapezu suma kątów wewnętrznych musi wynosić 180 stopni. Skoro ten kąt ma 120, a ten 30 to łącznie mają one 150 stopni. Do 180 brakuje nam 30 stopni. Oznacza to, że kąt w tym miejscu musi mieć dokładnie 30 stopni. Zobacz. Wewnątrz trapezu powstał nam trójkąt prostokątny ABC. Czy potrafimy wskazać miarę kąta w tym miejscu? Oczywiście, że tak. Skoro tutaj mamy 90, a tutaj 30 stopni to do 180 brakuje nam 60 stopni. Powstał nam tu trójkąt 30, 60, 90. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć długość boku AB. Skorzystajmy zatem z własności jakie ten typ trójkątów nam oferuje. Widzimy, że bok przy kącie prostym i kącie 60 stopni ma długość trzech centymetrów. Ten bok odpowiada temu bokowi który także leży przy kącie prostym i kącie 60 stopni. Zatem 3 centymetry możemy sobie oznaczyć jako x. Zgodnie z tym co widzimy na rysunku pomocniczym, bok przy kącie 30 i 60 stopni jest dwa razy dłuższy od tego boku. To skoro ten bok miał 3 centymetry to ten bok będzie miał ile? Dokładnie tak. 6 centymetrów. No dobrze. Ale do obliczenia obwodu trapezu brakuje nam jeszcze długości boku AD oraz boku DC. Wiemy, że trapez ABCD jest równoramienny. Oznacza to, że bok BC równy jest długości boku AD, czyli bok AD ma długość trzech centymetrów. Czy masz pomysł jak obliczyć długość boku DC? Spójrzmy teraz na trójkąt ACD. Suma jego kątów wewnętrznych musi wynosić 180 stopni czyli kąt w tym miejscu musi mieć miarę 30 stopni. Skoro kąty w tym miejscu i w tym miejscu mają takie same miary możemy stwierdzić, że trójkąt ACD jest równoramienny a skoro jest równoramienny to długość boku AD równa jest długości boku DC. To jaką długość ma bok DC? Oczywiście, że tak. 3 centymetry. Skoro znamy już długości wszystkich boków naszego trapezu ABCD to przejdźmy do obliczenia obwodu. Dodajmy do siebie długości wszystkich boków. Mamy 6 plus 3 plus 3 plus 3. I gdy dodamy do siebie wszystkie te elementy otrzymamy 15 centymetrów. Na koniec rozwiążmy takie zadanie: Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC. Aby obliczyć pole trójkąta musimy znać długość podstawy oraz wysokość, która pada na tę podstawę. Wysokość naszego trójkąta już znamy. Wynosi ona 4 pierwiastki z trzech. Nie znamy natomiast długości odcinka AB który jest podstawą na którą pada znana nam wysokość. Wiemy, że miara kąta w tym miejscu wynosi 120 stopni. Zatem miara kąta w tym miejscu wynosi 60 stopni bo te dwa kąty tworzą parę kątów przyległych czyli takich, które leżą przy jednej prostej i ich suma wynosi 180 stopni. A czy jesteśmy w stanie wyznaczyć miarę kąta w tym miejscu? Tak, bo z sumy miar kątów w trójkącie wynika, że miara tego kąta musi wynosić dokładnie 30 stopni. Zobacz. Powstał nam trójkąt 30, 60, 90. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć długość boku BC. Skorzystajmy z rysunku pomocniczego aby wyznaczyć długości brakujących boków tego trójkąta na zewnątrz. Widzimy, że bok przy kątach 30 i 90 stopni ma długość 4 pierwiastki z trzech. Ten bok odpowiada temu bokowi w naszym trójkącie pomocniczym. Widzimy, że ten bok musi spełniać taką zależność czyli 4 pierwiastki z trzech to nasze x pierwiastków z trzech. To skoro x pierwiastków z trzech wynosi 4 pierwiastki z trzech to ile wynosi x? Dokładnie tak. Wynosi 4. A ile wynosi długość boku BC który musi być 2 razy dłuższy od tego boku? Masz rację. Długość ta wynosi 8. Wiemy, że trójkąt ABC jest równoramienny zatem długość boku AB musi być równa długości boku BC. Wiemy, że długość boku BC wynosi 8 czyli długość boku AB także wynosi 8. Świetnie! Skoro wiemy już jaką długość ma nasza podstawa i jaką wartość ma wysokość to podstawmy te wartości do wzoru. Za a, czyli za długość podstawy możemy podstawić 8 a za wysokość możemy podstawić 4 pierwiastki z trzech. Dwójka skróci nam się na przykład z ósemką i otrzymamy 16 pierwiastków z trzech jednostek kwadratowych. Jak korzystać z trójkąta 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni? Po pierwsze należy podpisać proporcje przy właściwych bokach. I po drugie wykonać odpowiednie obliczenia. Zachęcam Cię do odwiedzenia strony pistacja.tv Znajdziesz tam setki filmów, które na pewno pomogą Ci w nauce matematyki.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

GDJ (CC0)
OpenClipart-Vectors (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg