Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych

Playlista: Twierdzenie Pitagorasa

Z tego filmu dowiesz się:


  • jak stosować twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości odcinków w układzie współrzędnych.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


Katalyst Education (CC BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Gdy używasz papierowej mapy musisz posługiwać się pewnym układem odniesienia. Spójrz tutaj. Kto mieszka dalej od szkoły, Asia czy Kasia? Na to pytanie odpowiesz korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Widzisz układ współrzędnych. Zaznaczmy w nim dowolny punkt na osi x, na przykład tutaj. Oznaczmy go wielką literą A. Jakie współrzędne ma ten punkt? Zatrzymaj lekcję i odpowiedz samodzielnie. Współrzędne tego punktu to 3 i 0. Zaznaczmy teraz inny punkt na osi y, na przykład tutaj. Oznaczmy go wielką literą B. Podaj teraz współrzędne tego punktu. Współrzędne punktu B to 0 i 4. Co otrzymamy łącząc oba punkty? Odcinek AB. Potrafisz z głowy podać jego długość? Nie. A jak można ją obliczyć? Masz jakiś pomysł? Osie x i y są prostopadłe. Można zauważyć, że odcinek AB razem z fragmentami osi układu współrzędnych tworzy trójkąt prostokątny. Potrafisz podać długość jego przyprostokątnych? Do tego przydadzą się współrzędne punktów. Z punktu o współrzędnych 0 i 0 do punktu o współrzędnych 3 i 0 zrobimy trzy kroki. Długość tej przyprostokątnej to 3. Jednym z końców tej przyprostokątnej jest początek układu współrzędnych, a drugim punkt o współrzędnych 0 i 4. Długość tego odcinka wynosi zatem 4. Skoro znamy długości przyprostokątnych, to jak możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej? Korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Spróbuj zrobić to samodzielnie. Oznaczmy najpierw długość przeciwprostokątnej literą c. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 3 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się c do kwadratu. Mamy zatem 9 dodać 16 równa się c do kwadratu, a to z kolei daje nam 25 równa się c do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 25? 5 lub minus 5. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być liczbą ujemną. Szukając długości odcinków w układzie współrzędnych zawsze należy szukać trójkątów prostokątnych. Zapamiętaj to i wyrusz ze mną w dalszą część lekcji. Tym razem widzisz odcinek CD. Spróbuj samodzielnie odczytać współrzędne jego końców. Punkt C ma współrzędne -3 i 0, a D 0 i 3. Teraz spróbuj samodzielnie obliczyć długość tego odcinka w taki sam sposób, jak przed chwilą liczyliśmy długość odcinka AB. Zauważ, że odcinek CD wraz z fragmentami osi x i y tworzy trójkąt prostokątny. Długość tej przyprostokątnej to 3. Tej też. Odcinek CD jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Oznaczmy jej długość literą d. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy 3 do kwadratu dodać 3 do kwadratu równa się d do kwadratu. Otrzymujemy 9 dodać 9 równa się d do kwadratu, a to z kolei daje nam 18 równa się d do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 18? Pierwiastek z 18 lub minus pierwiastek z 18. Wybieramy wartość dodatnią, bo długość odcinka nie może być ujemna. Długość odcinka CD to pierwiastek z 18. Warto wspomnieć, że pierwiastek z 18 to inaczej 3 pierwiastki z 2. Mam teraz kolejne zadanie dla ciebie. Spróbuj samodzielnie obliczyć długość odcinka EF. Najpierw odczytujemy współrzędne końców odcinka. Współrzędne punktu E to -2 i 0, a F to 0 i -5. Szukamy trójkąta prostokątnego. Odcinek EF oraz fragmenty osi współrzędnych tworzą taki trójkąt. Długość tej przyprostokątnej to 2, a tej to 5. Skoro znamy długości przyprostokątnych, to czy możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej, która jest odcinkiem EF? Możemy! Oznaczmy tę długość literą g. Otrzymamy 2 do kwadratu dodać 5 do kwadratu równa się g do kwadratu. Korzystamy oczywiście z twierdzenia Pitagorasa. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy: 4 dodać 25 równa się g do kwadratu, a to daje nam 29 równa się g do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 29? Pierwiastek z 29 lub minus pierwiastek z 29. Wybieramy ten dodatni, bo długość nie może być ujemna. Długość odcinka EF to pierwiastek z 29. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Oto odcinek GH. Jeden z jego końców jest w punkcie G o współrzędnych 0 i 0, a drugi w punkcie H o współrzędnych -2 i 4. Jak obliczyć długość tego odcinka? Masz jakiś pomysł? Najpierw należy poszukać trójkąta prostokątnego. W tym przypadku nie jest to oczywiste. Może trzeba coś dorysować? Zobacz, może tak? Mamy trójkąt prostokątny? Mamy! Te 3 odcinki tworzą trójkąt prostokątny. Tutaj mamy kąt prosty. Jakie długości mają przyprostokątne? Korzystając z własności punktów w układzie współrzędnych wiemy, że długość tej to 2, a tej to 4. Oznaczmy długość przeciwprostokątnej literą j. Teraz skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy: 2 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się j do kwadratu. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy: 4 dodać 16 równa się j do kwadratu, czyli 20 równa się j do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 20? Pierwiastek z 20 lub minus pierwiastek z 20. Wybieramy ten dodatni bo długość nie może być ujemna. Długość odcinka GH to pierwiastek z 20, co można też zapisać jako 2 pierwiastki z 5. Warto wspomnieć o tym, że rysując taki odcinek otrzymalibyśmy również trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych równych 2 i 4. Korzystając również z twierdzenia Pitagorasa, dla tego trójkąta otrzymalibyśmy taki sam wynik. Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu. Tym razem mamy obliczyć długość odcinka PJ, którego końce mają współrzędne odpowiednio -2 i 5 oraz 4 i 3. Zaczynamy od znalezienia trójkąta prostokątnego. Widzimy, że ten bok, te 2 kratki oraz te 6 kratek tworzą nam trójkąt prostokątny. Skoro tutaj mamy 2 kratki, to długość tej przyprostokątnej to 2, a skoro tutaj mamy 6 kratek, to długość tej przyprostokątnej to 6. Oznaczmy długość odcinka PJ literą k. Teraz możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie. Otrzymujemy 2 do kwadratu dodać 6 do kwadratu równa się k do kwadratu. Po podniesieniu znanych liczb do kwadratu, otrzymujemy 4 dodać 36 równa się k do kwadratu. To daje nam 40 równa się k do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 40? Pierwiastek z 40 lub minus pierwiastek z 40. Oczywiście wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. k równa się pierwiastek z 40. To możemy zapisać również jako 2 pierwiastki z 10. Mam teraz zadanie dla ciebie. Spróbuj samodzielnie obliczyć długość odcinka LM, gdzie punkt L ma współrzędne -1 i -4, a punkt M ma współrzędne 3 i -2. Szukamy trójkąta prostokątnego. Możemy go otrzymać dorysowując 2 takie odcinki lub 2 takie odcinki. Nie ma znaczenia, który wariant wybierzemy, bo za każdym razem otrzymamy identyczne trójkąty. Zostawmy tylko jeden z nich, przykładowo ten. Ta przyprostokątna ma długość 2 kratek, a ta 4 kratek. Teraz możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy długość odcinka LM literą p. Otrzymujemy 2 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się p do kwadratu. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy 4 dodać 16 równa się p do kwadratu, czyli 20 równa się p do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 20? Pierwiastek z 20 lub minus pierwiastek z 20. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. p równa się pierwiastek z 20, a to równa się 2 pierwiastkom z 5. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Aby obliczyć długość odcinka BC należy odczytać długości odcinków AB i AC oraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczyć długość odcinka BC. Ta playlista dotyczy twierdzenia Pitagorasa, ale jeżeli chcesz powtórzyć inne działy z matematyki, odwiedź naszą stronę pistacja.tv. Tam znajdziesz wszystkie działy.

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by