Gdy używasz papierowej mapy musisz posługiwać się pewnym układem odniesienia. Spójrz tutaj. Kto mieszka dalej od szkoły, Asia czy Kasia? Na to pytanie odpowiesz korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Widzisz układ współrzędnych. Zaznaczmy w nim dowolny punkt na osi x, na przykład tutaj. Oznaczmy go wielką literą A. Jakie współrzędne ma ten punkt? Zatrzymaj lekcję i odpowiedz samodzielnie. Współrzędne tego punktu to 3 i 0. Zaznaczmy teraz inny punkt na osi y, na przykład tutaj. Oznaczmy go wielką literą B. Podaj teraz współrzędne tego punktu. Współrzędne punktu B to 0 i 4. Co otrzymamy łącząc oba punkty? Odcinek AB. Potrafisz z głowy podać jego długość? Nie. A jak można ją obliczyć? Masz jakiś pomysł? Osie x i y są prostopadłe. Można zauważyć, że odcinek AB razem z fragmentami osi układu współrzędnych tworzy trójkąt prostokątny. Potrafisz podać długość jego przyprostokątnych? Do tego przydadzą się współrzędne punktów. Z punktu o współrzędnych 0 i 0 do punktu o współrzędnych 3 i 0 zrobimy trzy kroki. Długość tej przyprostokątnej to 3. Jednym z końców tej przyprostokątnej jest początek układu współrzędnych, a drugim punkt o współrzędnych 0 i 4. Długość tego odcinka wynosi zatem 4. Skoro znamy długości przyprostokątnych, to jak możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej? Korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Spróbuj zrobić to samodzielnie. Oznaczmy najpierw długość przeciwprostokątnej literą c. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 3 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się c do kwadratu. Mamy zatem 9 dodać 16 równa się c do kwadratu, a to z kolei daje nam 25 równa się c do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 25? 5 lub minus 5. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być liczbą ujemną. Szukając długości odcinków w układzie współrzędnych zawsze należy szukać trójkątów prostokątnych. Zapamiętaj to i wyrusz ze mną w dalszą część lekcji. Tym razem widzisz odcinek CD. Spróbuj samodzielnie odczytać współrzędne jego końców. Punkt C ma współrzędne -3 i 0, a D 0 i 3. Teraz spróbuj samodzielnie obliczyć długość tego odcinka w taki sam sposób, jak przed chwilą liczyliśmy długość odcinka AB. Zauważ, że odcinek CD wraz z fragmentami osi x i y tworzy trójkąt prostokątny. Długość tej przyprostokątnej to 3. Tej też. Odcinek CD jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Oznaczmy jej długość literą d. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy 3 do kwadratu dodać 3 do kwadratu równa się d do kwadratu. Otrzymujemy 9 dodać 9 równa się d do kwadratu, a to z kolei daje nam 18 równa się d do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 18? Pierwiastek z 18 lub minus pierwiastek z 18. Wybieramy wartość dodatnią, bo długość odcinka nie może być ujemna. Długość odcinka CD to pierwiastek z 18. Warto wspomnieć, że pierwiastek z 18 to inaczej 3 pierwiastki z 2. Mam teraz kolejne zadanie dla ciebie. Spróbuj samodzielnie obliczyć długość odcinka EF. Najpierw odczytujemy współrzędne końców odcinka. Współrzędne punktu E to -2 i 0, a F to 0 i -5. Szukamy trójkąta prostokątnego. Odcinek EF oraz fragmenty osi współrzędnych tworzą taki trójkąt. Długość tej przyprostokątnej to 2, a tej to 5. Skoro znamy długości przyprostokątnych, to czy możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej, która jest odcinkiem EF? Możemy! Oznaczmy tę długość literą g. Otrzymamy 2 do kwadratu dodać 5 do kwadratu równa się g do kwadratu. Korzystamy oczywiście z twierdzenia Pitagorasa. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy: 4 dodać 25 równa się g do kwadratu, a to daje nam 29 równa się g do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 29? Pierwiastek z 29 lub minus pierwiastek z 29. Wybieramy ten dodatni, bo długość nie może być ujemna. Długość odcinka EF to pierwiastek z 29. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Oto odcinek GH. Jeden z jego końców jest w punkcie G o współrzędnych 0 i 0, a drugi w punkcie H o współrzędnych -2 i 4. Jak obliczyć długość tego odcinka? Masz jakiś pomysł? Najpierw należy poszukać trójkąta prostokątnego. W tym przypadku nie jest to oczywiste. Może trzeba coś dorysować? Zobacz, może tak? Mamy trójkąt prostokątny? Mamy! Te 3 odcinki tworzą trójkąt prostokątny. Tutaj mamy kąt prosty. Jakie długości mają przyprostokątne? Korzystając z własności punktów w układzie współrzędnych wiemy, że długość tej to 2, a tej to 4. Oznaczmy długość przeciwprostokątnej literą j. Teraz skorzystajmy z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujemy: 2 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się j do kwadratu. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy: 4 dodać 16 równa się j do kwadratu, czyli 20 równa się j do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 20? Pierwiastek z 20 lub minus pierwiastek z 20. Wybieramy ten dodatni bo długość nie może być ujemna. Długość odcinka GH to pierwiastek z 20, co można też zapisać jako 2 pierwiastki z 5. Warto wspomnieć o tym, że rysując taki odcinek otrzymalibyśmy również trójkąt prostokątny o długościach przyprostokątnych równych 2 i 4. Korzystając również z twierdzenia Pitagorasa, dla tego trójkąta otrzymalibyśmy taki sam wynik. Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu. Tym razem mamy obliczyć długość odcinka PJ, którego końce mają współrzędne odpowiednio -2 i 5 oraz 4 i 3. Zaczynamy od znalezienia trójkąta prostokątnego. Widzimy, że ten bok, te 2 kratki oraz te 6 kratek tworzą nam trójkąt prostokątny. Skoro tutaj mamy 2 kratki, to długość tej przyprostokątnej to 2, a skoro tutaj mamy 6 kratek, to długość tej przyprostokątnej to 6. Oznaczmy długość odcinka PJ literą k. Teraz możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Zatrzymaj lekcję i zrób to samodzielnie. Otrzymujemy 2 do kwadratu dodać 6 do kwadratu równa się k do kwadratu. Po podniesieniu znanych liczb do kwadratu, otrzymujemy 4 dodać 36 równa się k do kwadratu. To daje nam 40 równa się k do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 40? Pierwiastek z 40 lub minus pierwiastek z 40. Oczywiście wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. k równa się pierwiastek z 40. To możemy zapisać również jako 2 pierwiastki z 10. Mam teraz zadanie dla ciebie. Spróbuj samodzielnie obliczyć długość odcinka LM, gdzie punkt L ma współrzędne -1 i -4, a punkt M ma współrzędne 3 i -2. Szukamy trójkąta prostokątnego. Możemy go otrzymać dorysowując 2 takie odcinki lub 2 takie odcinki. Nie ma znaczenia, który wariant wybierzemy, bo za każdym razem otrzymamy identyczne trójkąty. Zostawmy tylko jeden z nich, przykładowo ten. Ta przyprostokątna ma długość 2 kratek, a ta 4 kratek. Teraz możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy długość odcinka LM literą p. Otrzymujemy 2 do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się p do kwadratu. Podnosząc znane liczby do kwadratu otrzymujemy 4 dodać 16 równa się p do kwadratu, czyli 20 równa się p do kwadratu. Jaką liczbę należy podnieść do kwadratu, aby otrzymać 20? Pierwiastek z 20 lub minus pierwiastek z 20. Wybieramy liczbę dodatnią, bo długość nie może być ujemna. p równa się pierwiastek z 20, a to równa się 2 pierwiastkom z 5. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Aby obliczyć długość odcinka BC należy odczytać długości odcinków AB i AC oraz, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczyć długość odcinka BC. Ta playlista dotyczy twierdzenia Pitagorasa, ale jeżeli chcesz powtórzyć inne działy z matematyki, odwiedź naszą stronę pistacja.tv. Tam znajdziesz wszystkie działy.