Czy wiesz, że znając swój wzrost oraz długość cienia możesz zmierzyć wysokość dowolnego wysokiego obiektu? Jako pierwszy wykorzystał ten fakt Tales z Miletu do pomiaru wysokości piramidy Cheopsa. Ta sztuka udała mu się ponad 2500 lat temu. Wkrótce i Ty będziesz wiedział jak to zrobić. Na rozgrzewkę zacznijmy od czegoś prostego. Sprawdź, czy te 2 trójkąty prostokątne są podobne. Czy pamiętasz, jakie były cechy podobieństwa trójkątów? Zastanów się i wymień je. Do tej pory poznaliśmy 3: bok-bok-bok bok-kąt-bok oraz kąt-kąt-kąt. Jeżeli nie pamiętasz na czym polegały poszczególne cechy zachęcam Cię do zobaczenia najpierw odpowiedniego filmu. Z jakiej cechy możemy skorzystać w tym przypadku? Co wiemy o tych trójkątach? Nie wiemy nic o długościach boków ale znamy dwa kąty. Jaką cechę możemy wykorzystać? Kąt-kąt-kąt. Jeśli dwa trójkąty mają takie same kąty, to są podobne. No właśnie czy te dwa trójkąty mają takie same kąty? Na pewno mają jeden taki sam kąt. 90 stopni, skoro są prostokątne. 57 stopni to nie to samo co 33 stopnie ale obliczmy miary pozostałych kątów. Zatrzymaj film i spróbuj to teraz zrobić samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Ponieważ jest to trójkąt prostokątny to suma miar kątów ostrych wynosi 90 stopni. Ten kąt będzie miał miarę 90 minus 57 stopni, czyli 33 stopnie. A ten kąt będzie miał miarę 90 minus 33 stopnie, czyli 57 stopni. Teraz widzimy, że te dwa trójkąty mają takie same kąty: 90, 57 i 33. W takim razie powiedz, jak sądzisz ile kątów ostrych musimy znać aby stwierdzić czy trójkąty prostokątne są podobne? Wystarczy nam jeden kąt ostry. Drugi kąt ostry możemy zawsze łatwo policzyć. Skorzystaliśmy właśnie z jednej z cech trójkąta prostokątnego. Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają taki sam kąt ostry to te trójkąty są podobne. Zauważ, że jest to zgodne z zasadą kąt-kąt-kąt. Dlaczego wystarczy nam znać tylko 1 kąt ostry? Dobrze wiesz, że w każdym trójkącie prostokątnym jest kąt prosty. Znając kąt prosty i miarę jednego kąta ostrego możemy wyznaczyć miarę drugiego kąta ostrego. Spróbujmy znaleźć inne cechy które charakteryzują podobne trójkąty prostokątne. Mamy teraz takie zadanie-zagadkę. W słoneczny dzień Michał stanął w cieniu drzewa i zauważył że koniec jego cienia pokrywa się z końcem cienia rzucanego przez drzewo. Z pomocą kolegów zmierzył długość obu cieni uzyskując odpowiednio 2 metry i 10 merów. Znając te informacje oraz swój wzrost czyli 1,8 metra Michał obliczył wysokość drzewa. Jak to zrobił? Wiemy, że Michał stanął w cieniu drzewa w taki sposób, że koniec jego cienia pokrywał się z końcem cienia rzucanego przez drzewo. Spróbujmy to narysować. Wiadomo, że Michał ma 1,8 metra wzrostu. Szukamy wysokości drzewa. Oznaczmy ją literą h. Teraz należy nanieść cień Michała oraz cień drzewa. Cóż. Ciężko będzie zauważyć cień na naszej czarnej planszy dlatego wykorzystajmy inny kolor i przedstawmy cień jako odcinek. Ten odcinek będzie reprezentował cień rzucany przez drzewo. Wiemy, że ma on długość 10 metrów natomiast tutaj ten fragment reprezentuje cień rzucany przez Michała. Ma on długość dwóch metrów. Wysokość tego drzewa również możemy potraktować jako pewien odcinek. A teraz spróbujmy połączyć koniec tego odcinka z końcem tego odcinka. Jak myślisz, co otrzymamy? Otrzymaliśmy pewien trójkąt. Zaznaczmy, że jest to trójkąt prostokątny. Czy mamy tu jeszcze jakieś trójkąty? Możemy utworzyć jeszcze jeden trójkąt składający się z cienia Michała i jego wysokości. Ten mały trójkąt tutaj. Jak widzisz, ten mały trójkąt jest tak jakby wciśnięty w duży trójkąt. Przyjrzymy się temu kątowi ostremu. Ja nazwę go alfa. Zauważ, że alfa jest zarówno w małym trójkącie jak i w dużym trójkącie. Jest to wspólny kąt w obu tych trójkątach. Pamiętasz, co mówiliśmy przed chwilą? Jeśli dwa trójkąty prostokątne mają taki sam kąt ostry to te trójkąty są podobne. W takim razie mały, zielony trójkąt i duży, żółty trójkąt są podobne a skoro te trójkąty są podobne to znaczy, że ich boki są proporcjonalne. Jaki bok w małym, zielonym trójkącie odpowiada temu boku? To ten bok. Wysokość Michała, czyli 1,8 metra. A jaki bok w tym samym trójkącie odpowiada temu bokowi w dużym, żółtym trójkącie? To będzie ten bok. Stosunek tych dwóch boków musi być taki sam jak tych dwóch boków. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć te stosunki. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Stosunek tych dwóch boków to 10 przez 2 a tych dwóch boków to h przez 1,8. Pamiętaj, że porównujemy boki większego trójkąta do boków małego trójkąta. Musimy teraz tylko wyznaczyć h. Zatrzymaj film ponownie i zrób to samodzielnie. Potem porównaj swój wynik z moim. 10 przez 2 to 5. W takim razie 5 to h przez 1,8. Mnożę obustronnie przez 1,8 i otrzymuję, że h to 9 metrów. Obliczyliśmy wysokość tego drzewa. Jednocześnie znaleźliśmy kolejną cechę podobieństwa trójkątów prostokątnych. Jeśli stosunek przyprostokątnych w dwóch trójkątach prostokątnych jest taki sam to te trójkąty są podobne. W taki sam sposób Tales wyznaczył wysokość piramidy Cheopsa 2500 lat temu. Zauważ, że możemy się tutaj odnieść do zasady bok-kąt-bok. Mamy dwie pary boków proporcjonalnych i taki sam kąt między nimi. Tutaj i tutaj jest 90 stopni. Janek wykorzystał tę samą metodę do zmierzenia wysokości innego drzewa. Oto wyniki jego pomiarów. Cień Janka 2 metry wysokość Janka 1,6 metra długość cienia drzewa 18 metrów. Na podstawie tych danych obliczył że wysokość drzewa wynosi 16 metrów. Czy poprawnie wykonał rachunki? Musimy się teraz zabawić w nauczyciela i sprawdzić czy ktoś poprawnie rozwiązał zadanie. Od czego trzeba zacząć? Na samym początku spróbuj samodzielnie narysować rysunek do tego zadania tak jak w poprzednim przykładzie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój obrazek z moim. Mamy dwa trójkąty. Pierwszy, w którym przyprostokątne to cień Janka i jego wysokość oraz drugi, w którym przyprostokątne to cień drzewa i wysokość tego drzewa. Zaznaczyłem również kąt prosty oraz wspólny kąt ostry obu tych trójkątów. Dodatkowo naniosłem odpowiednie dane. Jak możemy sprawdzić poprawność obliczeń? Co wiemy o tych trójkątach? Że muszą być podobne. To znaczy, że stosunek przyprostokątnych w obu tych trójkątach musi być taki sam. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie oblicz stosunek przyprostokątnych. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Najpierw stosunek tych dwóch przyprostokątnych. Nazwijmy je pionowymi. 16 przez 1,6 to 10. Sprawdźmy teraz stosunek drugiej pary przyprostokątnych czyli 18 przez 2 to oczywiście 9. Te proporcje nie są sobie równe. Oczywiste jest, że 9 nie równa się 10. W takim razie te dwa trójkąty nie są podobne. W takim razie Janek musiał gdzieś popełnić błąd. Albo źle zmierzył jedną z wartości swoją wysokość, długość cienia albo źle obliczył wysokość drzewa. W trójkątach prostokątnych możemy dodatkowo wyróżnić następujące cechy podobieństwa. Dwa trójkąty prostokątne są podobne kiedy mają taki sam jeden kąt ostry albo kiedy mają taki sam stosunek przyprostokątnych. Zobaczyłeś właśnie kolejny film o podobieństwie figur. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv.