Symetria jest obecna w architekturze od wieków. Jest to jeden z najprostszych ale jednocześnie najbardziej skutecznych sposobów na wprawienie obserwatora w zachwyt. Symetria przejawia się nie tylko w budowlach ale również w ogrodach pałacowych i pomniejszych elementach jak to gotyckie okno. Wyobraź sobie taką sytuację. Na samym środku kartki mamy narysowaną pewną figurę geometryczną. Spróbujmy teraz złożyć naszą kartkę na pół. Czy coś się zmieniło w naszej figurze? Nie. Przecież nic tutaj nie dorysowywaliśmy. Pojawiła się jednak pewna prosta. Widzisz ją? Jest tutaj. Powstała w miejscu zgięcia kartki. Zauważ, że ta prosta dzieli naszą figurę na dwie połówki. Prawą oraz lewą. Co możesz o nich powiedzieć? Zwróć uwagę, że prawa połówka jest lustrzanym odbiciem lewej połówki. Albo inaczej mówiąc jeśli znowu złożylibyśmy kartkę na pół to ta połówka idealnie pokryje się z tą połówką. Czy to Ci coś przypomina? Podobnie było w przypadku figur symetrycznych względem prostej. Jeżeli nie pamiętasz o co w tym chodziło zachęcam Cię do zobaczenia odpowiedniego filmu. W tamtym przypadku mówiliśmy o dwóch oddzielnych figurach. A tutaj mamy jedną. Taką figurę nazywamy figurą osiowosymetryczną. Natomiast ta prosta nosi nazwę osi symetrii. Jeżeli figura posiada oś symetrii to oznacza, że obie jej części po różnych stronach tej osi są swoimi lustrzanymi odbiciami. Jak sądzisz czy ta figura ma więcej osi symetrii? Nie. Składając kartkę w inny sposób nie uda się nam nałożyć na siebie dwóch części tej figury. Czy wszystkie figury mają tylko jedną oś symetrii? Zaraz to sprawdzimy. Spróbujmy teraz znaleźć osie symetrii prostokąta. Przypomnijmy. Można powiedzieć, że oś symetrii dzieli daną figurę na pół. Po złożeniu figury wzdłuż tej osi obie połówki nałożą się na siebie. Jak myślisz ile prostokąt może mieć osi symetrii? Spróbujmy znaleźć jedną z nich. To zabieramy się do poszukiwań. Logiczne jest, że skoro kroimy prostokąt na pół to oś symetrii powinna być gdzieś tutaj. I rzeczywiście, osią symetrii prostokąta jest symetralna dłuższego boku. Krótkie przypomnienie. Symetralna to prosta dzieląca dany odcinek na pół i do niego prostopadła. Rzeczywiście, ta połówka jest identyczna jak ta połówka. Czy prostokąt ma tylko jedną oś symetrii? Albo inaczej czy ma tylko jedną symetralną? Nie. Jego krótsze boki również mają symetralną. Zauważ, że jakbyśmy przecięli prostokąt na pół w tym kierunku to uzyskalibyśmy dwie identyczne połówki. Oto druga symetralna tego prostokąta. No dobrze a czy prostokąt ma więcej osi symetrii? Nie. Prostokąt ma tylko dwie osie symetrii. Nie można w inny sposób go pokroić albo złożyć, aby uzyskać dwie identyczne połówki. Zauważ, że jeśli byśmy go przecięli na ukos to po złożeniu połówki nie nałożyłyby się. Taki efekt uzyskaliśmy po złożeniu jednej połówki prostokąta wzdłuż jego przekątnej. Wyraźnie widać, że te dwie połówki nie nakładają się na siebie. W takim razie przekątne nie są osiami symetrii prostokąta. Dobrze. Rozgryźliśmy już prostokąt. To teraz zajmijmy się kwadratem. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie znaleźć osie symetrii tego kwadratu. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że każdy kwadrat jest prostokątem. W takim razie jego dwie osie symetrii będą symetralnymi boków. Musimy pokroić tutaj oraz tutaj. Mamy już dwie osie symetrii. Czy kwadrat może mieć ich więcej? Tak. Zauważ, że po złożeniu kwadratu na ukos w tą stronę, albo w tą uzyskane połówki się nałożą. Tak, jak w przypadku na przykład kwadratowej chusty. W takim razie kwadrat ma dodatkową oś symetrii tutaj oraz tutaj. Czy kwadrat może mieć więcej osi symetrii? Nie. Ma ich 4. Pokrywają się z symetralnymi jego boków oraz z jego przekątnymi. Sprawdźmy, ile osi symetrii mają inne figury geometryczne. Na planszy mamy pokazanych 6 figur geometrycznych. Czy potrafisz nazwać każdą z nich? Zacznijmy od tej. To trójkąt równoboczny. Ma kąty o mierze 60 stopni. A tutaj? To równoległobok. Tutaj jest z kolei trójkąt prostokątny. Zauważ, że nie jest równoramienny. Ta przyprostokątna jest wyraźnie krótsza od tej przyprostokątnej. A tutaj? To pięciokąt foremny. Ma wszystkie boki tej samej długości. Tutaj jest sześciokąt foremny. Też ma wszystkie boki tej samej długości. Tutaj nie powinno być wątpliwości. To oczywiście koło. Dobrze. Spróbujmy teraz znaleźć osie symetrii tych figur. Zacznijmy od trójkąta równobocznego. Zatrzymaj film i powiedz czy ma on osie symetrii. Jeśli tak, to wskaż je. Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii. Tutaj tutaj oraz tutaj. Możemy go złożyć na pół na 3 różne sposoby. Czym są te osie symetrii w tym trójkącie? To symetralne jego boków które jednocześnie pokrywają się z jego wysokościami. A jak sądzisz czy równoległobok ma osie symetrii? Nie. Równoległobok nie posiada osi symetrii. A ten trójkąt? Ten trójkąt też nie posiada osi symetrii. A teraz zatrzymaj film i powiedz ile osi symetrii o ile w ogóle mają te trzy pozostałe figury. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Najpierw pięciokąt foremny. Ma on 5 osi symetrii. Każda z osi przechodzi przez jeden jego wierzchołek i przecina przeciwległy bok na pół. Skoro pięciokąt foremny miał 5 osi symetrii to wydaje się, że sześciokąt foremny powinien mieć ich 6. I to się zgadza. W sześciokącie tym możemy wyróżnić 2 rodzaje osi symetrii. Jedne z nich przechodzą przez jego wierzchołki a drugie są symetralnymi jego boków. A ile osi symetrii ma koło? Na ile sposobów można podzielić je na pół? Koło ma bardzo wiele osi symetrii. Tak naprawdę, ma ich nieskończenie wiele. Wszystkie przechodzą przez jego środek i pokrywają się z jego średnicami. Na planszy zamieściłem jedynie kilka osi symetrii tego koła aby nie pogubić się w gąszczu linii. Jak myślisz, czy koło to jedyna figura o nieskończenie wielu osiach symetrii? Nie. Mamy przecież jeszcze okrąg który również ma ich nieskończenie wiele. Prosta również ma nieskończenie wiele osi symetrii. Na sam koniec pytanie do Ciebie. Jak nazywamy te 4 zielone figury? Pamiętasz? Mówiliśmy o tym na początku tej lekcji. Figury, które posiadają oś symetrii nazywamy figurami osiowosymetrycznymi. Te dwie figury nie są osiowosymetryczne. Figury osiowosymetryczne to takie które można podzielić na pół w taki sposób, że połówki po złożeniu nakładają się. Prosta dzieląca figurę osiowosymetryczną to oś symetrii. Figury osiowosymetryczne mogą mieć więcej niż jedną oś symetrii. Prostokąt ma dwie osie symetrii natomiast kwadrat cztery osie. Są figury, które mają nieskończenie wiele osi symetrii. Takie jak koło, okrąg czy prosta. Pamiętaj o tym że nie wszystkie figury mają oś symetrii. Pokazane na planszy równoległobok i trójkąt nie posiadają ich. Zobaczyłeś właśnie kolejny film dotyczący symetrii. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebook'u PistacjaMatematyka.