Odcinki w graniastosłupach

Tak zwana Droga Olbrzymów w Irlandii Północnej, zbudowana z jest blisko czterdziestu tysięcy, ciasno ułożonych kolumn bazaltowych, które przypominają graniastosłupy. Najwyższe z nich mają około 12 metrów wysokości! Irlandzka legenda głosi że drogę tę wybudował olbrzym. Wiesz już doskonale jak rozpoznać graniastosłup. W czasie tej lekcji pokażę Ci wszystkie odcinki, które możemy wyróżnić w graniastosłupach. Spójrzmy na taki przykład graniastosłupa prostego czworokątnego. W takiej bryle możemy wyróżnić: krawędzie podstawy, krawędzie boczne przekątne bryły, czyli odcinki łączące 2 wierzchołki graniastosłupa leżące na różnych podstawach i na różnych ścianach bocznych. Przekątne bryły nazywamy też czasem przekątnymi graniastosłupa. Najczęściej jednak mówimy o nich krótko „przekątna”. Mamy jeszcze przekątne ścian bocznych oraz przekątne podstawy. Jak widzisz, nie ma tak wielu odcinków do zapamiętania w graniastosłupach. Spróbujmy odpowiedzieć teraz na kilka pytań. Pierwsze pytanie: ile przekątnych ma każdy graniastosłup czworokątny? Najłatwiej będzie nam to sprawdzić na przykładach. Spójrzmy zatem na taki graniastosłup czworokątny. Jak pamiętamy, przekątna będzie to taki odcinek, który łączy wierzchołek z dolnej podstawy z wierzchołkiem z górnej podstawy. Ale musimy pamiętać o tym, że wierzchołki te nie mogą leżeć na jednej ścianie. Przejdźmy do liczenia: pierwsza przekątna, która łączy ten wierzchołek podstawy dolnej z tym wierzchołkiem podstawy górnej. Druga przekątna może to być na przykład ten odcinek. Trzecia przekątna łączy ten wierzchołek z tym wierzchołkiem i czwarta przekątna łączy ten wierzchołek z tym wierzchołkiem. Czy w tym graniastosłupie możemy znaleźć jeszcze jakieś przekątne? Masz rację, narysowaliśmy już wszystkie przekątne. Mamy zieloną, niebieską, fioletową i czerwoną, czyli łącznie 4 przekątne. No dobrze, ale żeby upewnić się że każdy graniastosłup czworokątny ma 4 przekątne spójrzmy na jeszcze jeden przykład. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie odnaleźć wszystkie przekątne oraz policzyć ile ich jest. Możemy wyróżnić tutaj takie 4 przekątne. Zauważ, że z każdego wierzchołka górnej podstawy, możemy narysować po jednej przekątnej graniastosłupa. Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić że każdy graniastosłup czworokątny ma zawsze dokładnie 4 przekątne. Przejdźmy do drugiego pytania. Brzmi ono tak: ile przekątnych ma każdy graniastosłup trójkątny? Skupmy się na tym wierzchołku i spróbujmy wyprowadzić z niego jakiś odcinek który jednocześnie będzie przekątną. Jak widzimy, połączenie tego wierzchołka z tym wierzchołkiem nie da nam przekątnej. Taki odcinek będzie krawędzią boczną graniastosłupa. Połączenie tego wierzchołka z tym wierzchołkiem górnej podstawy także nie da nam przekątnej bryły tylko przekątną ściany bocznej. Identycznie, gdy spróbujemy połączyć ten wierzchołek z tym wierzchołkiem. Tutaj także otrzymamy przekątną ściany bocznej. Również nie bylibyśmy w stanie wyznaczyć przekątnej zaczynając w tym wierzchołku, w tym w tym, w tym czy w tym wierzchołku. Oznacza to, że w żadnym graniastosłupie trójkątnym nie występują przekątne bryły! Jak na razie idzie nam świetnie! Spróbujmy zatem odpowiedzieć na kolejne pytanie. Ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka graniastosłupa pięciokątnego? Ile wszystkich przekątnych ma ten graniastosłup? Skupmy się może na tym wierzchołku i spróbujmy narysować z niego jak najwięcej przekątnych. Połączenie tego wierzchołka z tym wierzchołkiem, nie da nam przekątnej. Połączenie tego wierzchołka z tym wierzchołkiem również nie da nam niestety przekątnej. Będzie to przekątna ściany bocznej. Obróćmy delikatnie nasz graniastosłup. Połączenie tego wierzchołka z tym wierzchołkiem da nam przekątną bryły prawda? Mamy odcinek, który łączy dolną podstawę z górną podstawą oraz nasze wierzchołki nie leżą na tej samej ścianie. Połączenie tego wierzchołka z tym wierzchołkiem również da nam przekątną bryły, zatem na razie mamy dwie przekątne. Obróćmy ponownie delikatnie nasz graniastosłup i połączmy ten wierzchołek z tym wierzchołkiem. Czy otrzymaliśmy tu przekątną? Niestety nie. Mamy tutaj przekątną ściany bocznej. Możemy już odpowiedzieć na jedno z dwóch zadanych nam pytań. Wiemy, że z jednego wierzchołka graniastosłupa pięciokątnego wychodzą dwie przekątne. Musimy jeszcze zastanowić się ile wszystkich przekątnych ma ten graniastosłup. Wiemy, że z każdego wierzchołka wychodzą po dwie przekątne bryły. Ale musimy uwzględnić fakt że te przekątne, które wychodzą na przykład z górnej podstawy będą pokrywały się z tymi które narysowaliśmy już wcześniej bazując na dolnej podstawie. Bo przecież w przypadku tej samej pary wierzchołków przekątna z dolnego do górnego wierzchołka to ta sama przekątna, którą moglibyśmy poprowadzić z górnego do dolnego wierzchołka. Zatem liczbę wszystkich przekątnych policzymy w ten sposób że wykorzystamy tylko dolną podstawę i fakt, że z każdego wierzchołka wychodzą po dwie przekątne bryły. Nasze obliczenia będą zatem wyglądały następująco: 5 razy 2, bo mamy 5 wierzchołków w dolnej podstawie a z każdego wierzchołka wychodzą po dwie przekątne bryły. Da nam to 10 i możemy sformułować odpowiedź, że każdy graniastosłup pięciokątny ma dokładnie 10 przekątnych. Spróbujmy teraz zagrać w pewną grę. Podam Ci 3 cechy pewnego graniastosłupa a Twoim zadaniem będzie odgadnięcie jaki to graniastosłup. Mamy 3 następujące cechy: po pierwsze, wszystkie ściany boczne są prostokątami. Wiemy także, że podstawa jest wielokątem foremnym. I podano nam również informację że z jednego wierzchołka wychodzą 3 przekątne. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać tę zagadkę. Zacznijmy od wyciągnięcia jak największej liczby wniosków z informacji które nam podano. Pierwsza informacja brzmiała tak: wszystkie ściany boczne są prostokątami. Wiemy zatem, że jest to graniastosłup prosty. Druga informacja brzmiała tak: podstawa jest wielokątem foremnym. Dzięki tej informacji możemy stwierdzić że nasz graniastosłup jest prawidłowy ma w podstawie figurę foremną i jest prosty. No i wiemy, że z jednego wierzchołka wychodzą 3 przekątne. W trakcie filmu rozwiązywaliśmy wiele przykładów. Jak pamiętasz, w graniastosłupach czworokątnych, z jednego wierzchołka wychodziła jedna przekątna. W przypadku graniastosłupów pięciokątnych z jednego wierzchołka wychodziły dwie przekątne. Zatem, skoro w naszym przypadku z jednego wierzchołka wychodzą 3 przekątne bryły to jaka figura znajduje się w podstawie? Oczywiście, że tak. W podstawie znajduje się sześciokąt. Wiemy już zatem, że nasza bryła to graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Spróbuj zagrać w taką grę z kolegami i koleżankami z klasy a gwarantuję Ci, że po kilku takich przykładach, będziesz bardzo sprawnie rozpoznawać wszystkie graniastosłupy. W prawie każdym graniastosłupie możemy wyróżnić przekątne bryły, przekątne ścian bocznych oraz przekątne podstawy. Zapamiętaj również, że przekątna graniastosłupa łączy 2 wierzchołki które nie są na jednej ścianie. Jeśli chcesz być na bieżąco z naszymi materiałami, zachęcam Cię do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie, Pistacja Matematyka.