Z tego filmu dowiesz się:

  • jak narysować siatkę dowolnego graniastosłupa,
  • w jakich sytuacjach praktycznych wykorzystujemy obliczenia pól powierzchni graniastosłupów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Najlepsi zawodnicy potrafią ułożyć słynną kostkę Rubika w czasie nieprzekraczającym pięciu sekund. Jednak w starciu z robotem, człowiek nie ma w takim pojedynku żadnych szans. Stworzony przez dwóch Amerykanów robot ułożył tradycyjną kostkę w czasie trzydziestu ośmiu setnych sekundy. Spójrzmy na taką bryłę. Jest to graniastosłup prosty czworokątny który ma w podstawie kwadrat. Wiesz już że, po rozcięciu takiej bryły otrzymamy siatkę graniastosłupa. Żeby było nam łatwiej, przejdźmy z widoku trójwymiarowego na widok dwuwymiarowy. Jak widzisz, siatka składa się z sześciu prostokątów tworzących ściany graniastosłupa. Sumę pól wszystkich ścian graniastosłupa nazywamy polem powierzchni całkowitej i oznaczamy jako Pc. Jak myślisz, czy możemy narysować siatkę tego samego graniastosłupa w jakiś inny sposób? Tak, moglibyśmy narysować naszą siatkę również w taki sposób. Możesz w ramach treningu przygotować obie wersje siatki z podanymi na ekranie wymiarami. Żeby przekonać się, że rzeczywiście po ich sklejeniu otrzymamy taki sam graniastosłup. Zapamiętaj, że niezależnie od tego w jaki sposób narysujemy siatkę graniastosłupa, to pole powierzchni całkowitej nie zmieni się. Wprowadźmy teraz wzór na pole powierzchni całkowitej. Wygląda on następująco: Pc równa się 2 razy Pp plus Pb. Pp oznacza w tym wzorze pole podstawy. W zależności od tego jaka figura znajduje się w podstawie będziemy w tym miejscu wstawiać wzór na pole tej figury. Pb oznacza w tym wzorze pole powierzchni bocznej, czyli pole wszystkich ścian bocznych. Wykonajmy takie ćwiczenie. Uzupełnij tabelkę, wykorzystując wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. W pierwszym przykładzie wiemy że pole powierzchni podstawy wynosi 20 centymetrów kwadratowych a pole powierzchni bocznej 160 centymetrów kwadratowych. Podstawmy te wartości do wzoru na pole powierzchni całkowitej. Otrzymamy wtedy 2 razy 20 bo tyle wynosiło pole podstawy dodać 160, bo tyle wynosiło pole powierzchni bocznej da nam to 40 plus 160 czyli po zsumowaniu 200 centymetrów kwadratowych. Przeanalizujmy teraz drugi przykład. Tutaj wiemy, że pole powierzchni bocznej ma 300 centymetrów kwadratowych a pole całkowite graniastosłupa 500 centymetrów kwadratowych. Musimy zatem obliczyć pole powierzchni podstawy. Aby to zrobić, musimy od 500 odjąć 300 a następnie podzielić tę wartość przez 2 ponieważ mamy dwie podstawy. 500 minus 300 to 200 a 200 prze 2 da nam 100 centymetrów kwadratowych. I został nam ostatni przykład z tabelki. Tym razem wiemy, że pole powierzchni podstawy ma 80 centymetrów kwadratowych a pole całkowite graniastosłupa 380 centymetrów kwadratowych. Musimy zatem obliczyć pole powierzchni bocznej graniastosłupa. Aby to zrobić, od wartości pola całkowitego graniastosłupa musimy odjąć 2 razy pole powierzchni podstawy, no bo przecież w graniastosłupach mamy dwie podstawy. 380 minus 2 razy 80 da nam 380 minus 160 ponieważ najpierw musimy wykonać mnożenie. A 380 minus 160 da nam 220 centymetrów kwadratowych. Rozwiążmy teraz takie zadanie. Oblicz pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 centymetrów i wysokości 8 centymetrów. Jak pamiętasz, wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa przedstawiał się następująco: 2 razy pole powierzchni podstawy dodać pole powierzchni bocznej. Zacznijmy od obliczenia pola podstawy. Wiemy, że mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym. Zatem musi mieć on w podstawie wielokąt foremny. Oznacza to, że ten trójkąt w podstawie to trójkąt równoboczny. Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego. Prezentuje się on następująco: a kwadrat pierwiastków z trzech przez 4 gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy. Zatem za a podstawiamy 6 i otrzymujemy 6 do kwadratu pierwiastków z trzech przez 4. 6 do kwadratu to 36, zatem mamy 36 pierwiastków z trzech przez 4 i po wykonaniu dzielenia otrzymamy 9 pierwiastków z trzech centymetrów kwadratowych. Obliczmy teraz pole powierzchni bocznej. Skoro mamy graniastosłup prawidłowy to każda ze ścian bocznych będzie identycznym prostokątem. Każdy z tych prostokątów ma wymiar 6 na 8 centymetrów. A ile jest takich ścian? Są dokładnie 3 takie ściany. Otrzymamy takie wyrażenie: 6 razy 8 razy 3 i da nam to 144 centymetry kwadratowe. Podstawmy otrzymane wartości do wzoru na pole powierzchni całkowitej. Otrzymamy: 2 razy 9 pierwiastków z trzech dodać 144, da nam to 18 pierwiastków z trzech dodać 144 centymetry kwadratowe. I takie wyrażenie jest rozwiązaniem naszego zadania. Jak widzisz, otrzymane wyrażenie warto wziąć w okrągły nawias. Zaakcentujemy w ten sposób że centymetry kwadratowe odnoszą się zarówno do osiemnastu pierwiastków z trzech jak i do liczby 144. Spójrzmy teraz na dość podobne zadanie które jednak będzie wymagało od nas nieco innego podejścia do problemu niż poprzednio. W szkole zbudowano nowy basen. Przed otwarciem trzeba go wyłożyć płytkami. Jaką powierzchnię trzeba pokryć jeśli basen ma taki kształt jak pokazano poniżej? Spójrzmy na ten graniastosłup. Na początku zastanów się, które płaszczyzny tego basenu są prostokątami. Tafla wody jest prostokątem. Pionowa ściana przy najgłębszym miejscu basenu również. Dno i powierzchnia opadania także są prostokątami. A po bokach tego basenu mamy identyczne trapezy prostokątne. Mamy tu zatem do czynienia z graniastosłupem prostym który ma w podstawie trapez prostokątny. Skoro wiemy już z jaką bryłą mamy do czynienia, obliczmy pola wszystkich ścian, które należy pokryć płytkami. Pamiętajmy, że tafli wody nie wykładamy płytkami! Zacznijmy od ścian w kształcie trapezów. Jak pamiętasz, wzór na pole trapezu to a plus b razy h przez 2. W naszym przypadku jedna z podstaw ma 25 metrów, druga 15 metrów a wysokość tego trapezu to 6 metrów. Po podstawieniu tych liczb do wzoru mamy 25 plus 15 razy 6 przez 2 czyli każda z tych ścian ma dokładnie 120 metrów kwadratowych. Obliczmy pola pozostałych ścian wewnętrznych basenu. Ta ukośna ściana to prostokąt o wymiarach 8 na 12 metrów czyli pole tej ściany obliczymy mnożąc 8 przez 12 i da nam to 96 metrow kwadratowych. Ta pionowa ściana ma wymiary 6 na 12 metrów, czyli pole obliczymy mnożąc 6 przez 12 i da nam to 72 metry kwadratowe. Oczywiście nie możemy zapomnieć jeszcze o dnie! Ma ono kształt prostokąta o wymiarach 15 na 12 metrów. Pole powierzchni dna obliczymy mnożąc 15 razy 12 i da nam to 180 metrów kwadratowych. Zsumujmy teraz wszystkie obliczone pola. Otrzymamy, że łączna powierzchnia wszystkich ścian wewnętrznych wynosi 588 metrów kwadratowych. Sformułujmy jeszcze odpowiedź do tego zadania. Może ona brzmieć na przykład tak: płytkami należy pokryć powierzchnię 588 metrów kwadratowych. Zapamiętaj, że pole powierzchni graniastosłupa to pole jego siatki czyli suma pól ścian bocznych i dwóch podstaw. Zachęcam Cię do polubienia naszej strony na Facebooku, Pistacja Matematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Zrzut ekranu z filmu Jay Flatland (CC BY-SA)
Peter Griffin (CC0)
Michelle Gorka (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg