Twierdzenie Pitagorasa w graniastosłupach
Playlista:Graniastosłupy
Ten materiał posiada napisy w języku ukraińskim
Playlista
-
Co to jest graniastosłup? Co to jest graniastosłup prawidłowy? 09:14
-
Odcinki w graniastosłupach 10:12
-
Objętość graniastosłupa 08:52
-
Pole powierzchni graniastosłupa. Siatki graniastosłupów 10:33
-
Graniastosłupy - zadania na pole powierzchni i objętość 08:34
-
Twierdzenie Pitagorasa w graniastosłupach 08:31
Playlista
Z tego filmu dowiesz się:
- jak wykorzystać twierdzenie Pitagorasa przy obliczeniach objętości i pól powierzchni graniastosłupów.
Podstawa programowa
Autorzy i materiały
Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu
Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.
Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach
Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.
Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób
Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu
Transkrypcja
Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.
Czy widziałeś kiedyś w filmie
jak złodzieje włamują się do muzeum?
Sala w muzeum ma kształt
prostopadłościanu.
Parkiet ma wymiary 6 na 8 metrów
a wysokość sali to 5 metrów.
Wyobraź sobie, że po przekątnej
prostopadłościanu prowadzimy wiązkę
która zabezpiecza eksponat
przed kradzieżą.
Dyrekcja muzeum chwali się
że wiązka ta ma ponad 11 metrów długości!
Jak myślisz, czy to możliwe?
Spójrzmy na takie graniastosłupy proste.
Spróbujmy odnaleźć kilka trójkątów
prostokątnych wewnątrz nich.
Po pierwsze, możemy wyróżnić trójkąt
prostokątny, którego przeciwprostokątna
będzie pokrywać się z przekątną
ściany bocznej naszych graniastosłupów.
Przyprostokątne to kolejno: krawędź
podstawy oraz wysokość graniastosłupa.
Na każdej innej ścianie bocznej
też znajdziemy takie trójkąty.
Również w podstawach naszych
graniastosłupów możemy wyróżnić kolejne
trójkąty prostokątne.
Jak widzisz, w pierwszym przypadku
mamy trójkąt prostokątny
którego przeciwprostokątna pokrywa się
z połową dłuższej przekątnej.
Natomiast w drugim przypadku możemy
wyróżnić na przykład taki trójkąt
prostokątny, którego przeciwprostokątna
pokrywa się z przekątną podstawy.
Trzecim typem trójkątów prostokątnych
jakie możemy wyróżnić, jest taki trójkąt
którego przeciwprostokątna będzie
pokrywać się z przekątną
naszego graniastosłupa.
Przyprostokątne to kolejno: przekątna
podstawy oraz wysokość graniastosłupa.
Oczywiście moglibyśmy wykonać
podobne wyróżnienie trójkąta prostokątnego
dla pozostałych przekątnych.
Pamiętaj, że nie w każdym graniastosłupie
jesteśmy w stanie wyróżnić wszystkie takie
typy trójkątów prostokątnych
jak w przedstawionych przykładach.
Na przykład w graniastosłupach trójkątnych
nie znajdziemy ostatniego typu
trójkąta prostokątnego.
Jest tak, ponieważ taki graniastosłup
nie ma w ogóle przekątnej podstawy.
Rozwiążmy teraz takie zadanie:
rysunek przedstawia
graniastosłup prawidłowy sześciokątny.
Wiedząc, że przekątna ściany bocznej
tej bryły ma długość 5 centymetrów
a wysokość 4 centymetry
oblicz sumę długości
wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.
Zaznaczmy na rysunku elementy
o których powiedziano nam coś w poleceniu.
Wiemy, że przekątna ściany bocznej
ma długość pięciu centymetrów.
Wiemy również, że wysokość bryły
to 4 centymetry.
Wiemy również, że nasz graniastosłup
jest prawidłowy, czyli każda krawędź
podstawy ma taką samą długość. Oznaczmy tę nieznaną wartość jako a.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy
to wiemy, że krawędzie boczne są
prostopadłe do krawędzi podstawy.
Oznacza to, że możemy w tym miejscu
zaznaczyć sobie trójkąt prostokątny.
Zobacz, teraz bez problemu obliczymy
wartość a, korzystając
z twierdzenia Pitagorasa.
Przyprostokątne mają długości odpowiednio
a oraz 4, a przeciwprostokątna
ma długość 5.
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy zatem:
a do kwadratu dodać 4 do kwadratu
równa się 5 do kwadratu.
Po podniesieniu tych liczb do kwadratu
otrzymamy: a kwadrat plus 16 równa się 25.
Przenieśmy 16 na drugą stronę
da nam to a kwadrat równa się 25 minus 16
czyli a kwadrat równa się 9.
A skoro a jest krawędzią
to musi przyjmować wartości dodatnie.
Stąd wiemy, że a jest równe
trzem centymetrom.
Teraz bez problemu obliczymy
sumę długości wszystkich krawędzi.
Mamy 6 krawędzi w dolnej podstawie
każda ma 3 centymetry
dodać 6 krawędzi w górnej podstawie
każda ma również 3 centymetry
dodać 6 krawędzi bocznych
każda z tych krawędzi ma 4 centymetry
zatem mamy 6 razy 4
otrzymamy 18 plus 18 plus 24
i da nam to ostatecznie
że suma długości wszystkich krawędzi
to 60 centymetrów.
I rozwiążmy jeszcze takie zadanie:
na rysunku przedstawiono
graniastosłup prawidłowy czworokątny.
Wiedząc, że przekątna graniastosłupa
ma 10 metrów, a wysokość 8 metrów
oblicz objętość tej bryły.
Chcąc obliczyć objętość, musimy znać
pole podstawy oraz wysokość bryły.
Wysokość już znamy.
Musimy zatem obliczyć pole podstawy.
Zobacz, z przekątnej, wysokości
i przekątnej podstawy
możemy utworzyć trójkąt prostokątny.
Zatrzymaj teraz film
i spróbuj samodzielnie obliczyć
długość przekątnej podstawy.
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
d do kwadratu dodać 8 do kwadratu
równa się 10 do kwadratu.
Po podniesieniu tych liczb do kwadratu
otrzymamy: d do kwadratu plus 64
równa się 100.
Przenieśmy 64 na drugą stronę
da nam to d kwadrat równa się 100 minus 64
czyli d kwadrat to 36.
A jaka dodatnia liczba
podniesiona do kwadratu da 36?
Oczywiście będzie to 6.
Znając przekątną kwadratu
możemy policzyć długość jego boku
a potem pole.
Ale kwadrat jest
szczególnym przypadkiem rombu, prawda?
A jak pamiętasz, pole rombu możemy
policzyć korzystając ze wzoru:
Pp równa się e razy f przez 2
gdzie e i f to przekątne rombu.
W przypadku kwadratu, przekątne są
równej długości.
Skoro znamy długość przekątnej podstawy
to obliczmy pole podstawy.
Otrzymamy: 6 razy 6 przez 2
da nam to 36 przez 2
czyli ostatecznie 18 metrów kwadratowych.
Świetnie!
Teraz znamy zarówno wysokość
jak i pole podstawy graniastosłupa.
Obliczmy zatem jego objętość.
Otrzymamy: V równa się 18 razy 8
i da nam to 144 metry sześcienne.
Zapamiętaj, że w graniastosłupach prostych
możemy odnaleźć wiele
trójkątów prostokątnych.
Bardzo często zauważenie
i wykorzystanie tych trójkątów
będzie pomocne przy obliczaniu pól
powierzchni i objętości graniastosłupów.
Zachęcam Cię do zapoznania się
z naszymi pozostałymi materiałami
które znajdziesz na stronie pistacja.tv
Ćwiczenia
Interaktywne ćwiczenia związane z tą wideolekcją.
Materiały dodatkowe
Inne zasoby do wykorzystania podczas zajęć z tego tematu.
