Z tego filmu dowiesz się:

  • jak wykorzystać twierdzenie Pitagorasa przy obliczeniach objętości i pól powierzchni graniastosłupów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Czy widziałeś kiedyś w filmie jak złodzieje włamują się do muzeum? Sala w muzeum ma kształt prostopadłościanu. Parkiet ma wymiary 6 na 8 metrów a wysokość sali to 5 metrów. Wyobraź sobie, że po przekątnej prostopadłościanu prowadzimy wiązkę która zabezpiecza eksponat przed kradzieżą. Dyrekcja muzeum chwali się że wiązka ta ma ponad 11 metrów długości! Jak myślisz, czy to możliwe? Spójrzmy na takie graniastosłupy proste. Spróbujmy odnaleźć kilka trójkątów prostokątnych wewnątrz nich. Po pierwsze, możemy wyróżnić trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna będzie pokrywać się z przekątną ściany bocznej naszych graniastosłupów. Przyprostokątne to kolejno: krawędź podstawy oraz wysokość graniastosłupa. Na każdej innej ścianie bocznej też znajdziemy takie trójkąty. Również w podstawach naszych graniastosłupów możemy wyróżnić kolejne trójkąty prostokątne. Jak widzisz, w pierwszym przypadku mamy trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątna pokrywa się z połową dłuższej przekątnej. Natomiast w drugim przypadku możemy wyróżnić na przykład taki trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna pokrywa się z przekątną podstawy. Trzecim typem trójkątów prostokątnych jakie możemy wyróżnić, jest taki trójkąt którego przeciwprostokątna będzie pokrywać się z przekątną naszego graniastosłupa. Przyprostokątne to kolejno: przekątna podstawy oraz wysokość graniastosłupa. Oczywiście moglibyśmy wykonać podobne wyróżnienie trójkąta prostokątnego dla pozostałych przekątnych. Pamiętaj, że nie w każdym graniastosłupie jesteśmy w stanie wyróżnić wszystkie takie typy trójkątów prostokątnych jak w przedstawionych przykładach. Na przykład w graniastosłupach trójkątnych nie znajdziemy ostatniego typu trójkąta prostokątnego. Jest tak, ponieważ taki graniastosłup nie ma w ogóle przekątnej podstawy. Rozwiążmy teraz takie zadanie: rysunek przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny. Wiedząc, że przekątna ściany bocznej tej bryły ma długość 5 centymetrów a wysokość 4 centymetry oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zaznaczmy na rysunku elementy o których powiedziano nam coś w poleceniu. Wiemy, że przekątna ściany bocznej ma długość pięciu centymetrów. Wiemy również, że wysokość bryły to 4 centymetry. Wiemy również, że nasz graniastosłup jest prawidłowy, czyli każda krawędź podstawy ma taką samą długość. Oznaczmy tę nieznaną wartość jako a. Skoro jest to graniastosłup prawidłowy to wiemy, że krawędzie boczne są prostopadłe do krawędzi podstawy. Oznacza to, że możemy w tym miejscu zaznaczyć sobie trójkąt prostokątny. Zobacz, teraz bez problemu obliczymy wartość a, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Przyprostokątne mają długości odpowiednio a oraz 4, a przeciwprostokątna ma długość 5. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy zatem: a do kwadratu dodać 4 do kwadratu równa się 5 do kwadratu. Po podniesieniu tych liczb do kwadratu otrzymamy: a kwadrat plus 16 równa się 25. Przenieśmy 16 na drugą stronę da nam to a kwadrat równa się 25 minus 16 czyli a kwadrat równa się 9. A skoro a jest krawędzią to musi przyjmować wartości dodatnie. Stąd wiemy, że a jest równe trzem centymetrom. Teraz bez problemu obliczymy sumę długości wszystkich krawędzi. Mamy 6 krawędzi w dolnej podstawie każda ma 3 centymetry dodać 6 krawędzi w górnej podstawie każda ma również 3 centymetry dodać 6 krawędzi bocznych każda z tych krawędzi ma 4 centymetry zatem mamy 6 razy 4 otrzymamy 18 plus 18 plus 24 i da nam to ostatecznie że suma długości wszystkich krawędzi to 60 centymetrów. I rozwiążmy jeszcze takie zadanie: na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wiedząc, że przekątna graniastosłupa ma 10 metrów, a wysokość 8 metrów oblicz objętość tej bryły. Chcąc obliczyć objętość, musimy znać pole podstawy oraz wysokość bryły. Wysokość już znamy. Musimy zatem obliczyć pole podstawy. Zobacz, z przekątnej, wysokości i przekątnej podstawy możemy utworzyć trójkąt prostokątny. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć długość przekątnej podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy: d do kwadratu dodać 8 do kwadratu równa się 10 do kwadratu. Po podniesieniu tych liczb do kwadratu otrzymamy: d do kwadratu plus 64 równa się 100. Przenieśmy 64 na drugą stronę da nam to d kwadrat równa się 100 minus 64 czyli d kwadrat to 36. A jaka dodatnia liczba podniesiona do kwadratu da 36? Oczywiście będzie to 6. Znając przekątną kwadratu możemy policzyć długość jego boku a potem pole. Ale kwadrat jest szczególnym przypadkiem rombu, prawda? A jak pamiętasz, pole rombu możemy policzyć korzystając ze wzoru: Pp równa się e razy f przez 2 gdzie e i f to przekątne rombu. W przypadku kwadratu, przekątne są równej długości. Skoro znamy długość przekątnej podstawy to obliczmy pole podstawy. Otrzymamy: 6 razy 6 przez 2 da nam to 36 przez 2 czyli ostatecznie 18 metrów kwadratowych. Świetnie! Teraz znamy zarówno wysokość jak i pole podstawy graniastosłupa. Obliczmy zatem jego objętość. Otrzymamy: V równa się 18 razy 8 i da nam to 144 metry sześcienne. Zapamiętaj, że w graniastosłupach prostych możemy odnaleźć wiele trójkątów prostokątnych. Bardzo często zauważenie i wykorzystanie tych trójkątów będzie pomocne przy obliczaniu pól powierzchni i objętości graniastosłupów. Zachęcam Cię do zapoznania się z naszymi pozostałymi materiałami które znajdziesz na stronie pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Kadr z filmu „Ocean’s 12: Dogrywka” (2004), wytwórnia Warner Bros

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg