W piwnicach zamku w Heidelbergu w Niemczech znajduje się jedna z największych beczek na świecie. Beczka ma 7 metrów szerokości i 8,5 metra długości. Zbudowano ją ze 130 drzew. Z tego filmu dowiesz się jak można obliczyć objętość tej beczki oraz innych walców. Na ekranie widzisz pewną bryłę. To prostopadłościan. Powinieneś już wiedzieć że prostopadłościan jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa który w swojej podstawie ma prostokąt. A co jeśli podstawą graniastosłupa byłoby na przykład koło? Co byśmy otrzymali? Otrzymalibyśmy taką bryłę. To walec. Walec jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa którego podstawą jest koło. Powinieneś już wiedzieć że jesteśmy w stanie obliczyć objętość graniastosłupa. Czy pamiętasz jaki jest wzór na tę objętość? Objętość to pole podstawy razy wysokość. Zaznaczmy wysokość w tym prostopadłościanie. A tak, jak powiedzieliśmy przed chwilą walec to szczególny przypadek graniastosłupa. Aby obliczyć objętość walca możemy wykorzystać ten sam wzór. Narysujmy więc wysokość tego walca. To ten odcinek. A co z polem podstawy? Jaka figura jest podstawą walca? To koło. Czy pamiętasz wzór na pole koła? Pole koła, czyli pole podstawy walca to pi razy r kwadrat. Zobacz. We wzorze pojawia się promień. Zaznaczmy go na rysunku. Promień walca jest równy promieniowi jego podstawy. Jaki będzie ostateczny wzór na objętość walca? W miejsce pola podstawy wpiszmy pi r kwadrat a w miejsce wysokości, h. Otrzymujemy ostatecznie, że objętość walca to pi razy r kwadrat razy h. Czyli pi razy promień walca podniesiony do kwadratu razy jego wysokość. Walec nazywamy bryłą obrotową ponieważ powstaje przez obrót prostokąta wokół pewnej prostej. Popatrz. Na rysunku są pokazane 2 identyczne prostokąty. Dłuższy bok ma długość a. Krótszy bok ma długość b. Obrócimy teraz te 2 prostokąty wokół różnych osi obrotu i zobaczymy co uzyskamy. Pierwszy prostokąt będziemy obracać wokół osi obrotu pokrywającej się z jego dłuższym bokiem. Drugi prostokąt będziemy obracać wokół osi obrotu pokrywającej się z symetralną krótszego boku. No to startujemy. Co otrzymaliśmy? Otrzymaliśmy 2 różne walce. Dlaczego te walce są różne? Zobacz. Mimo, że mamy takie same wysokości to mamy różne promienie. Promień tego walca jest 2 razy dłuższy od promienia tego walca. Teraz widać jak na dłoni, że walec jest jedną z brył obrotowych. Ale zobacz. Uzyskaliśmy dwie różne bryły pomimo tego że obracaliśmy tę samą figurę. W obu przypadkach były to identyczne prostokąty. Mieliśmy jednak różne osie obrotu. Spróbujmy policzyć objętość tych brył. Objętość walca to pi razy r kwadrat razy h. Aby policzyć objętości tych dwóch walców musimy najpierw określić ich wysokości oraz ich promienie. Przyjmijmy dodatkowo że a wynosi 6 centymetrów natomiast b wynosi 4 centymetry. Wysokość pierwszego walca ma długość a czyli 6 centymetrów. Promień pierwszego walca ma długość b, czyli 4 centymetry. Wysokość drugiego walca również ma długość a, czyli 6 centymetrów. Natomiast promień tego walca to 1/2b, czyli 2 centymetry. Możemy teraz policzyć objętości tych dwóch walców. Objętość pierwszego walca to pi razy 4 centymetry podniesione do kwadratu razy 6 centymetrów. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć objętość pierwszego walca. Następnie włącz film ponownie i porównaj swój wynik z moim. Po dalszych obliczeniach otrzymuję że objętość pierwszego walca to pi razy 16 centymetrów kwadratowych razy 6 centymetrów. Dobrze. A teraz zatrzymaj film jeszcze raz i spróbuj samodzielnie policzyć objętość drugiego walca. Następnie porównaj swój wynik z moim. Tym razem w miejsce promienia wstawiam 2 centymetry. I po obliczeniach uzyskuję, że objętość drugiego walca to pi razy 24 centymetry sześcienne. Zobacz, że objętość drugiego walca jest 4 razy mniejsza od objętości pierwszego walca. Mimo, że obracaliśmy ten sam prostokąt to jednak zastosowanie dwóch różnych osi obrotu sprawiło, że w efekcie uzyskaliśmy 2 różne walce. Każde o innej objętości. Mamy teraz takie zadanie. Prostokąt o bokach 2 centymetry i 5 centymetrów obrócono wokół dłuższego boku Oblicz objętość otrzymanego walca. O co jesteśmy pytani? O wyznaczenie objętości otrzymanego walca. Ale jaki jest to walec? Taki, który powstał poprzez obrót pewnego prostokąta. Narysujmy więc ten prostokąt. Krótszy bok ma 2 centymetry. A dłuższy bok 5 centymetrów. Co jeszcze wiemy o tym walcu? Wiemy, że powstał poprzez obrót tego prostokąta wokół dłuższego boku. Dobrze. Zatrzymaj teraz film narysuj odpowiednią oś obrotu oraz otrzymany walec. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Skoro obracamy prostokąt wokół dłuższego boku to oś obrotu będzie się pokrywała z tym dłuższym bokiem. Teraz obracamy ten prostokąt. Oto nasz walec. Obliczmy teraz jego objętość. Objętość walca to pi razy r kwadrat razy h. Musimy więc znać promień tego walca oraz jego wysokość. Jaką długość ma wysokość tego walca? To 5 centymetrów. Wysokość walca ma taką samą długość jak dłuższy bok obracanego prostokąta. A ile wynosi promień tego walca? 2 centymetry. Tyle, ile krótszy bok prostokąta. Znamy wysokość. Znamy promień. Zatrzymaj teraz film i oblicz objętość tego walca. Następnie porównaj swój wynik z moim. W miejsce r podstawie 2 centymetry a w miejsce h, 5 centymetrów. Objętość to pi razy 2 centymetry podniesione do kwadratu razy 5 centymetrów. 2 centymetry podniesione do kwadratu to 4 centymetry kwadratowe. Ostatecznie otrzymujemy, że objętość tego walca to pi razy 20 centymetrów sześciennych. Gratulacje. Teraz na pewno jesteś w stanie policzyć objętość dowolnego walca. Objętość walca możemy obliczyć z następującego wzoru. V równa się pi r kwadrat razy h Dużą literą V oznaczamy objętość. r to promień walca, a h to jego wysokość. Właśnie zobaczyłeś kolejny film z playlisty o walcach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty oraz do polubienia naszego fanpage'a na Facebook'u PistacjaMatematyka.