Wiele potraw jest sprzedawanych w cylindrycznych puszkach opatrzonych etykietą. Czasami, jak zdejmiesz etykietę z opakowania po jej drugiej stronie możesz znaleźć przepis na smaczne danie. Ale czym jest taka etykieta dla walca? Dowiesz się z tego filmu. Weźmy pewną puszkę z jedzeniem. Zauważ, że ma ona kształt walca. Promień tej puszki wynosi r, a wysokość H. Zdejmijmy teraz etykietę i rozłóżmy ją. Jaką figurę uzyskaliśmy po rozłożeniu etykiety? To prostokąt. Nazwijmy teraz jego boki. Dłuższy bok określę jako a. Natomiast krótszy bok określę jako b. Jak możemy policzyć pole tego prostokąta? To oczywiście a razy b. No dobrze, ale powiedzieliśmy na początku że znamy wysokość oraz promień walca. Czy wiemy coś w takim razie o a oraz o b? Ile może wynosić b? Zauważ, że ten bok prostokąta jest równy wysokości naszego walca. Czyli b jest równe H. A bok a? Jak powstał? Pamiętaj, że jest to górna krawędź naszej etykiety. Etykietę rozcięliśmy z tyłu i rozłożyliśmy. To znaczy, że długość boku a będzie taka sama jak obwód podstawy walca. Czy widzisz już co to jest? To obwód koła. A konkretniej mówiąc obwód podstawy walca. Ile wynosi obwód podstawy walca o promieniu r? To oczywiście 2 pi r. Teraz możemy obliczyć pole tego prostokąta wykorzystując wysokość oraz promień walca. Jak powiedzieliśmy wcześniej pole prostokąta to iloczyn jego boków. W takim razie to pole wynosi 2 pi r razy H Ten prostokąt albo etykieta z naszej puszki jest nazywana przez matematyków powierzchnią boczną walca. Ile wynosi jej pole powierzchni? Obliczyliśmy to przed chwilą. To 2 pi r razy H. Zapamiętaj wzór na pole powierzchni bocznej walca. Będziemy jeszcze z niego korzystać. Czas teraz na mały trening. Oblicz pole powierzchni bocznej walca o wysokości 8 centymetrów i średnicy 10 centymetrów. Oto nasz walec. Narysowałem go za Ciebie. Zaznaczyłem w nim również jego wysokość oraz jego promień. Teraz zatrzymaj film i wskaż powierzchnię boczną tego walca. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Pamiętasz, powierzchnia boczna to tak jakby etykieta naszego walca. Na rysunku mogłeś ją zaznaczyć w ten sposób. Dobrze. Wróćmy teraz do naszego zadania. Co mamy policzyć? Pole powierzchni bocznej tego walca. Pamiętasz jaki był na to wzór? Niedawno prosiłem Cię, abyś go zapamiętał. Jeżeli jednak zapomniałeś to nie martw się, zaraz Ci przypomnę. Ten wzór to: 2 pi r razy H. Do wyznaczenia pola powierzchni bocznej musimy więc znać promień oraz wysokość tego walca. Ile one wynoszą? Sprawdźmy w treści zadania. Mamy powiedziane wprost że wysokość to 8 centymetrów. Wiemy też, że średnica walca ma długość 10 centymetrów. Skoro średnica ma 10 centymetrów długości to ile wynosi promień? Promień to oczywiście połowa średnicy czyli 5 centymetrów. Znamy już promień oraz wysokość. Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz pole powierzchni bocznej tego walca. Następnie porównaj swój wynik z moim. Po podstawieniu otrzymujemy że pole powierzchni bocznej tego walca to 2 razy pi razy 5 centymetrów razy 8 centymetrów. Czyli pi razy 80 centymetrów kwadratowych. Gratulacje. To koniec naszego zadania. Wyobraź sobie, że kupiłeś przyjacielowi prezent w kształcie walca. Chciałbyś go pięknie zapakować. Ile papieru potrzebowałbyś gdybyś chciał precyzyjnie okleić nim cały prezent? Żeby okleić boki potrzebujesz tyle papieru ile wynosi pole powierzchni bocznej walca. Tyle już wiemy. Ale co z górą i dołem? Je też musisz zakryć jeśli chcesz zrobić koledze prawdziwą niespodziankę. To oznacza, że do zapakowania całego prezentu potrzebujesz przynajmniej tyle papieru, żeby okleić nie tylko bok walca ale i jego dwie podstawy. Sumę powierzchni bocznej walca i jego dwóch podstaw matematycy nazywają polem powierzchni całkowitej walca. Wiemy już, że pole powierzchni bocznej to 2 pi r razy H. A ile wynosi pole podstawy? Podstawa walca jest kołem. Jaki jest wzór na pole koła? To oczywiście pi r kwadrat. Wykorzystując te dwie zależności możemy teraz podać wzór na pole powierzchni całkowitej walca. Ten wzór to: 2 pi r razy H dodać 2 pi r kwadrat. Pole powierzchni całkowitej często oznaczamy również symbolem Pc. Za chwilę wykorzystamy ten wzór w zadaniu. Mamy do rozwiązania następujące zadanie. Kwadrat o boku 6 centymetrów obrócono wokół symetralnej jednej pary boków. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego walca. Czego szukamy w tym zadaniu? Pola powierzchni całkowitej pewnego walca. Jaki to walec? Walec ten powstał poprzez obrót kwadratu. Narysujmy więc ten kwadrat i obrócimy go wokół symetralnej jednej pary boków tak, jak jest w treści zadania. Teraz należy obliczyć pole powierzchni całkowitej tego walca. Pamiętasz jaki był na to wzór? To 2 pi r razy H dodać 2 pi r kwadrat. Wyraźnie widać, że do obliczenia pola powierzchni całkowitej musimy znać promień oraz wysokość tego walca. Jak to zrobić? Zaznaczę teraz wysokość oraz średnicę tego walca na rysunku. Czy dostrzegasz coś ciekawego? Skoro obracaliśmy kwadrat wokół symetralnej boków to oznacza, że wysokość będzie równa średnicy tego walca. A ile one wynoszą? 6 centymetrów. Tak, jak podano w treści zadania. W takim razie ile będzie wynosił promień tego walca? To połowa średnicy, czyli 3 centymetry. Dobrze, zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca. Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. W miejsce r podstawiam 3 centymetry a w miejsce H, 6 centymetrów. Podstawię do wzoru. Wykonuje kolejne obliczenia. Upraszczam otrzymane wyrażenia i ostatecznie otrzymujemy, że pole powierzchni całkowitej tego walca to 54 razy pi centymetry kwadratowe. Gratulacje. Rozwiązaliśmy to zadanie. Do wyznaczenia pola powierzchni bocznej walca konieczna jest znajomość jego promienia oraz wysokości. Pole powierzchni całkowitej to pole powierzchni bocznej walca powiększone o pole dwóch podstaw walca. Zobaczyłeś właśnie kolejny film dotyczący walców. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie PistacjaMatematyka.