Walec to nie tylko bryła obrotowa ale również maszyna drogowa która służy do wyrównywania powierzchni. Pierwsze walce powstały prawie 200 lat temu. Najpierw były ciągnięte przez konie. Potem napędzane przez silnik parowy. A teraz napędzane przez silniki spalinowe. Mamy do rozwiązania następujące zadanie: po rozklejeniu ściany bocznej pudełka mającego kształt walca otrzymano równoległobok. Jeden z boków tej figury ma długość 44 centymetrów a jej pole jest równe 220 centymetrom kwadratowych. Oblicz objętość tego pudełka. Przyjmij przybliżenie, pi równa się 22/7. Czego szukamy w tym zadaniu? Objętości pudełka. Nasze pudełko ma kształt walca. To właśnie ono. Jaki jest wzór na objętość walca? Oto on. Żeby policzyć objętość musimy znać promień tego walca oraz jego wysokość. Niestety w treści zadania nie mamy podanych ani wysokości, ani promienia. Co wiemy? Wiemy, że po rozklejeniu ściany bocznej otrzymaliśmy równoległobok. Narysujmy go więc. Czy coś wiemy na temat tego równoległoboku? Sprawdźmy w treści zadania. Wiemy, że jeden z boków tej figury ma długość 44 centymetrów. Ja określę ten bok literą a. Wiemy też, że pole tego równoległoboku wynosi 220 centymetrów kwadratowych. Musimy teraz w jakiś sposób wykorzystać informacje o długości tego boku oraz o polu tego równoległoboku do wyznaczenia wysokości oraz promienia walca. Skupmy się najpierw na wysokości. Jaka będzie wysokość tego równoległoboku? Oczywiście będzie ona równa wysokości tego walca. Czyli duże H. No dobrze. Czyli znamy pole równoległoboku. Znamy długość jednego boku. I wiemy, że jego wysokość jest równa wysokości walca. Czy pamiętasz jak liczymy pole równoległoboku? Pole równoległoboku to długość boku razy wysokość. Znamy zarówno to pole jak i długość boku. W ten sposób możemy obliczyć wysokość równoległoboku, a tym samym wysokość walca. Teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie wyliczyć wysokość tego walca. Potem włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Podstawiam 220 centymetrów kwadratowych w miejsce P oraz 44 centymetry w miejsce a. Teraz, aby wyznaczyć H dzielę obustronnie to równanie przez 44 centymetry. Otrzymuję, że H to 220 centymetrów kwadratowych przez 44 centymetry. Upraszczając, otrzymuje ostatecznie że H wynosi 5 centymetrów. Świetnie. Wyznaczyliśmy wysokość tego walca. Teraz musimy jedynie wyznaczyć promień. Jak to zrobić? Wykorzystaliśmy już informację o polu równoległoboku. Pole tego równoległoboku było powierzchnią boczną tego walca. To może skupmy się teraz na długości tego boku. Ale zauważ, że dłuższy bok naszego równoległoboku ma taką samą długość jak obwód podstawy walca. Chwileczkę. Skoro znamy obwód to możemy wyliczyć promień? Pewnie, że tak. Pamiętasz jaki był wzór na obwód koła? Obwód koła, czyli w naszym przypadku a to 2 razy pi razy r. Znamy a, mamy podane przybliżenie pi czyli możemy wyliczyć r. Zatrzymaj film ponownie i spróbuj wyliczyć r samodzielnie. Potem porównaj swój wynik z moim. Po podstawieniu otrzymuję że 44 centymetry to 2 razy 22/7 razy r. Czyli, że 44 centymetry to 44/7 razy r. Aby policzyć r dzielę teraz przez 44/7. Dzielenie, to to samo co mnożenie przez odwrotność. 44 nam się skróci. I otrzymujemy, że r wynosi 7 centymetrów. Świetnie. Znamy promień oraz wysokość. Teraz nie pozostaje nic innego jak wyznaczyć objętość. Zatrzymaj film jeszcze raz. Wyznacz objętość tego walca. A na końcu porównaj swój wynik z moim. Podstawiamy i obliczamy. Pamiętaj, żeby w miejsce pi wstawić 22/7. Tak, jak było napisane w treści zadania. Po kolejnych obliczeniach otrzymuję ostatecznie że objętość tego walca wynosi 770 centymetrów sześciennych. Czy to koniec tego zadania? Tak. Mieliśmy obliczyć objętość tego pudełka co właśnie uczyniliśmy. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 8 pierwiastków z dwóch centymetrów. I jest nachylona do wysokości walca pod kątem 45 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego walca. Na samym początku pytanie. Czego szukamy? Pola powierzchni całkowitej pewnego walca. Pamiętasz, jak liczyło się pole powierzchni całkowitej walca? Możemy skorzystać z tego wzoru. Na pole powierzchni całkowitej składa się pole powierzchni bocznej oraz pole dolnej i górnej podstawy walca. No dobrze ale o jakim walcu w ogóle mówimy? Sprawdźmy w treści zadania. Wiemy, że przekątna przekroju osiowego tego walca ma długość 8 pierwiastków z dwóch centymetrów. Przekrój osiowy walca jest tutaj. Narysujmy teraz jego przekątną i zaznaczmy jej długość. Przekątna będzie tutaj. Co jeszcze wiemy? Wiemy, że ta przekątna jest nachylona do wysokości walca pod kątem 45 stopni. Zaznaczmy to na rysunku. Zaznaczamy kąt 45 stopni. Od razu zaznaczyłem również wysokość tego walca oraz jego średnicę. Czy wiesz dlaczego zaznaczyłem tutaj kąt prosty? Ponieważ wysokość walca jest prostopadła do jego średnicy. A długość średnicy jest równa 2r. Do wyznaczania pola powierzchni całkowitej musimy znać długość promienia tego walca oraz jego wysokość. Zastanówmy się, co możemy zrobić z danymi które zaznaczyliśmy na naszym obrazku. Spójrzmy na ten trójkąt. Co można o nim powiedzieć? Jest to trójkąt prostokątny. Jaką znasz zależność na długość boków w trójkącie prostokątnym? To oczywiście twierdzenie Pitagorasa. W naszym przypadku H do kwadratu dodać 2r do kwadratu da nam 8 pierwiastków z dwóch centymetrów do kwadratu. Świetnie. Mamy pierwsze równanie. Ale nadal mamy dwie niewiadome. H oraz r. Musimy mieć dodatkowe informacje. Spójrzmy jeszcze raz na ten trójkąt. Wiemy, że jego kąty mają wartość 90 stopni i 45 stopni. Ile wynosi w takim razie wartość trzeciego kąta? Ten kąt będzie miał wartość 45 stopni. To wynika z sumy miar kątów w trójkącie. Zobacz, że w tym trójkącie są 2 kąty równe. W jakich trójkątach zachodziła ta zależność? W trójkątach równoramiennych. Nie tylko nasz trójkąt jest prostokątny ale jest również równoramienny. Jakie są ramiona tego trójkąta? To 2r oraz H. Czyli H równa się 2r. Ja podstawiam H, w miejsce 2r. Otrzymuję, że H kwadrat dodać H kwadrat to 8 pierwiastków z dwóch centymetrów do kwadratu, czyli dalej 2H kwadrat to 64 razy 2 centymetry kwadratowe. Dzielę teraz obustronnie przez 2 aby otrzymać H kwadrat. H kwadrat to 64 centymetry kwadratowe. Żeby obliczyć teraz H muszę spierwiastkować. Pierwiastek z 64 centymetrów kwadratowych to 8 centymetrów. Czyli wysokość tego walca wynosi 8 centymetrów. Średnica tego walca ma taką samą długość. A to z kolei oznacza że promień tego walca ma długość 4 centymetrów. Dobrze. Wiemy teraz wszystko czego potrzeba do obliczenia pola powierzchni całkowitej. Zatrzymaj teraz film i zrób to samodzielnie. Potem porównaj swój wynik z moim. Po podstawieniu i kilku prostych rachunkach wychodzi, że pole powierzchni całkowitej tego walca to 96 centymetrów kwadratowych razy pi, czyli ponad 300 centymetrów kwadratowych. Świetnie. Rozwiązaliśmy to zadanie. W trakcie rozwiązywania zadań o walcach przydadzą Ci się następujące wzory. Wzór na objętość. Wzór na pole powierzchni bocznej. Oraz wzór na pole powierzchni całkowitej. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o walcach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebook'u PistacjaMatematyka.