Kiedy samolot odrzutowy przekracza prędkość dźwięku zachodzą bardzo ciekawe zjawiska fizyczne. Po pierwsze słychać gwałtowny huk fali uderzeniowej a po drugie na ułamki sekund wokół samolotu pojawia się obłok pary wodnej w kształcie stożka. Jest to tak zwany stożek Macha. Stożki możesz znaleźć nie tylko na niebie ale również na przyjęciu urodzinowym. Popularne czapeczki dla uczestników takich przyjęć często mają kształt stożka. Czy pamiętasz jakie charakterystyczne odcinki możemy wyznaczyć w stożku? To wysokość, promień i tworząca. Wysokość stożka jest tutaj jego promień tutaj, a tworząca tutaj. Jeśli tego nie pamiętałeś albo jest to Twoja pierwsza styczność ze stożkami to zachęcam Cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Wyobraź sobie, że teraz rozcinamy tę czapeczkę wzdłuż tworzącej i rozkładamy to, co otrzymaliśmy na płaskiej powierzchni na przykład na stole. Ciekawe, co otrzymamy. Otrzymalibyśmy taką figurę. Jak myślisz, co to jest? Matematycy określają taką figurę jako wycinek koła, czyli mówiąc wprost jest to fragment pewnego koła. Dorysujmy to koło. Teraz dokładnie widać, że nasz wycinek jest fragmentem pewnego większego koła. Czym jest ten wycinek dla stożka? To jest jego powierzchnia boczna. W matematyce bardzo często potrzebujemy informacji o tym, jakie jest pole powierzchni bocznej stożka. Zresztą nie tylko w matematyce ale również w życiu znając pole powierzchni czapeczki urodzinowej wiemy ile papieru należy zużyć, aby ją złożyć. Pytanie tylko, jak ją wyznaczać. Ale spokojnie, zaraz do tego dojdziemy. Zastanów się i powiedz gdzie tutaj można znaleźć naszą tworzącą stożka l? To promień tego dużego koła. Tworząca jest tutaj. To skoro znaleźliśmy tworzącą to może uda nam się znaleźć inne charakterystyczne odcinki na przykład wysokość. Jak sądzisz? Wysokości nie znajdziemy na tym wycinku ani w tym kole. A promień? Promienia również nie ma tutaj bezpośrednio. Ale zauważ jedną ciekawą rzecz. Jeśli rozłożysz czapeczkę na stole to obwód podstawy stożka stanie się długością tego wycinka. Obwód podstawy stożka to 2pi r. W takim razie długość tego wycinka to 2pi r. To teraz zastanówmy się w jaki sposób możemy wyznaczyć pole tego wycinka. Pamiętasz na to wzór? No właśnie, ja również nie. Ale możemy tutaj skorzystać z proporcji. Pole tego wycinka do pola całego koła to tyle samo, ile długość łuku tego wycinka do obwodu całego koła. Ile wynosi pole tego koła? Jak sądzisz? Zauważ, że promień tego koła to tworząca stożka, czyli l. W takim razie pole tego całego koła to pi l kwadrat. Długość łuku wycinka już znamy to 2pi r. A ile wynosi obwód tego całego koła? To oczywiście 2pi l. Postawmy te wszystkie wielkości do naszego wzoru i spróbujmy wyliczyć pole wycinka koła. Powinniśmy otrzymać coś takiego. Uprośćmy to wyrażenie. Tutaj skróci się 2pi. Aby pozbyć się tego wyrażenia z mianownika mnożę obustronnie przez pi l kwadrat. Otrzymujemy z kolei coś takiego. Tutaj skróci się l. Ostatecznie otrzymujemy że pole wycinka koła to pi razy r razy l. Jeżeli gdzieś po drodze się zgubiłeś to nie bój się cofnąć filmu i prześledzić tych obliczeń jeszcze raz. Gratulacje. Właśnie otrzymaliśmy wzór na pole powierzchni bocznej stożka. Zapiszmy sobie ten wzór na górze planszy i zróbmy więcej miejsca. W matematyce oprócz pola powierzchni bocznej możemy również wyznaczyć pole powierzchni całkowitej. Podobnie, jak to było w przypadku walców pole powierzchni całkowitej to pole powierzchni bocznej oraz pole podstawy. Jakie jest pole podstawy stożka? Podstawą stożka jest koło o promieniu r a pole koła to pi r kwadrat. W takim razie pole powierzchni całkowitej będzie równe pi razy r razy l czyli pole powierzchni bocznej dodać pi r kwadrat. Znając pole powierzchni całkowitej stożka możemy utworzyć jego siatkę. Wystarczy do wycinka naszego koła dostawić podstawy naszego stożka. Mamy teraz takie zadanie. Trójkąt równoramienny o podstawie 6 centymetrów i wysokości 4 centymetry obrócono wokół tej wysokości. Oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego stożka. Co mamy zrobić w tym zadaniu? Wyznaczyć pole powierzchni całkowitej stożka. Jaki to stożek? To taki, który powstanie poprzez obrót trójkąta równoramiennego wokół jego wysokości. Narysujmy teraz ten trójkąt. Co o nim wiemy? Wiemy, że jego podstawa to 6 centymetrów a jego wysokość to 4 centymetry. Tak będzie wyglądał nasz rysunek. Teraz musimy otrzymać stożek. W jaki sposób? Masz to podane w treści zadania. Obracamy trójkąt wokół jego wysokości. Oto nasz stożek. Co musimy znać, aby wyznaczyć jego pole powierzchni całkowitej? Mówiliśmy o tym poprzednio. Musimy znać jego promień oraz tworzącą. Na pierwszy rzut oka nie znamy ani promienia ani tworzącej. Ale czy na pewno? Czym jest podstawa tego trójkąta? To średnica podstawy stożka. A średnica to 2 razy promień. W takim razie promień ma długość 3 centymetrów. No dobrze, to potrzebujemy jeszcze jedynie znać długość tworzącej. Zaznaczmy ją na rysunku. Jak myślisz, jak możemy to zrobić? Zauważ, że tutaj jest trójkąt prostokątny. W takim razie długość tworzącej możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Zatrzymaj teraz film i spróbuj to zrobić samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Z twierdzenia Pitagorasa wynika że r kwadrat plus H kwadrat to l kwadrat. Podstawiam 3 centymetry w miejsce r i 4 centymetry w miejsce H. l kwadrat to 9 centymetrów kwadratowych plus 16 centymetrów kwadratowych czyli 25 centymetrów kwadratowych. Ile wynosi l? To pierwiastek z tej liczby czyli 5 centymetrów. Gratulacje. Wyznaczyliśmy już długość tworzącej. Czy mam już wszystkie dane potrzebne do obliczenia pola powierzchni całkowitej? Tak. W takim razie zatrzymaj film i oblicz ją samodzielnie. Podstawiam odpowiednie wielkości w miejsce r oraz l do wzoru. Pole powierzchni całkowitej to 15 centymetrów kwadratowych razy pi dodać 9 centymetrów kwadratowych razy pi. Dodajemy i otrzymujemy że pole powierzchni całkowitej to 24 centymetry kwadratowe razy pi. Gratulacje. A teraz kolejne zadanie. Promień stożka jest równy jego wysokości. Oblicz jego pole powierzchni bocznej jeżeli tworząca tego stożka ma długość 7 pierwiastków z dwóch centymetrów. Przeczytaj zadanie jeszcze raz dokładnie i narysuj odpowiedni stożek. Oto on. Zaznaczamy długość tworzącej. Wiemy też, że wysokość stożka jest równa jego promieniowi. Szukamy pola powierzchni bocznej. Jaki był na to wzór? To pi razy r razy l. l już znamy. Musimy jakoś znaleźć r. Jak myślisz, jak to zrobić? Pamiętasz, co zrobiliśmy w poprzednim zadaniu? Skorzystaliśmy z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta. r kwadrat plus H kwadrat to l kwadrat. Ale wiemy też, że r równa się H. Podstawiamy r w miejsce H i otrzymujemy że 2r kwadrat to l kwadrat. Mamy teraz jedno równanie z jedną niewiadomą. I możemy wyznaczyć r. Spróbuj to zrobić samodzielnie. 2r kwadrat to 7 pierwiastków z dwóch do kwadratu. 7 do kwadratu to 49 a pierwiastek z dwóch do kwadratu to 2. Teraz, aby otrzymać r kwadrat dzielimy przez 2. r kwadrat to 49 centymetrów kwadratowych. W takim razie r to pierwiastek z tej liczby, czyli 7 centymetrów. Świetnie. Wyznaczyliśmy promień a jednocześnie wysokość tego stożka. Czy to koniec zadania? Nie, mieliśmy znaleźć pole powierzchni bocznej. Oblicz je teraz samodzielnie. Pod r wstawiam 7 centymetrów a pod l 7 pierwiastków z dwóch. Ostatecznie otrzymuję że pole powierzchni bocznej to pi razy 49 pierwiastków z dwóch centymetrów kwadratowych. Aby wyznaczyć pole powierzchni bocznej stożka musimy znać jego promień oraz jego tworzącą. Pole powierzchni całkowitej stożka to pole powierzchni bocznej powiększone o pole podstawy tego stożka. Obejrzałeś właśnie kolejny film dotyczący stożków. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebook 'u PistacjaMatematyka.