Czy wiedziałeś, że stożek możesz również spotkać w roślinie? Mowa o stożku wzrostu. Jeden znajduje się na końcu pędu rośliny a drugi na końcu korzenia. Komórki w stożkach wzrostu bardzo intensywnie się dzielą. W ten sposób wydłuża się korzeń i pęd a roślina rośnie. Mamy takie zadanie: pole powierzchni bocznej stożka wynosi 60 razy pi centymetrów kwadratowych. Wyznacz długość tworzącej jeżeli promień stożka jest równy 6 centymetrom. Nasze zadanie mówi o pewnym stożku. Co o nim wiemy? Znamy jego pole powierzchni bocznej. To 60 razy pi centymetrów kwadratowych. Coś jeszcze znamy? Znamy długość promienia tego stożka. To 6 centymetrów. Narysujmy teraz nasz stożek. Zaznaczyłem w nim długość promienia 6 centymetrów oraz szukaną tworzącą. To jak możemy wyznaczyć l? Mamy informację o polu powierzchni bocznej. Pamiętasz jaki był na to wzór? Pole powierzchni bocznej stożka to pi razy r razy l. No to zobacz. Mamy pole powierzchni bocznej które wynosi 60 razy pi centymetrów kwadratowych. pi jest stałą matematyczną, a r znamy. Możemy teraz policzyć l. Zatrzymaj film i spróbuj to zrobić samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Pole powierzchni bocznej to 60 razy pi centymetrów kwadratowych. W miejsce r podstawiam 6 centymetrów. Zauważamy, że liczba pi znajduje się po obu stronach tego równania dlatego możemy ją skrócić. Czyli 60 centymetrów kwadratowych to 6 centymetrów razy l. Jak wyznaczyć l? Dzielimy przez 6 centymetrów. A wiadomo, że 60 przez 6 to 10. Tworząca ma długość 10 centymetrów. Oto kolejne zadanie. Jeden stożek ma promień równy 4 centymetrom i wysokość równą 9 centymetrom. Jego objętość jest 8 razy większa od objętości drugiego stożka. Oblicz wysokość drugiego stożka jeżeli jego promień jest 2 razy krótszy od promienia pierwszego stożka. Co mamy obliczyć w tym zadaniu? Musimy znaleźć wysokość drugiego stożka. Jak widzisz, nasze zadanie mówi o dwóch stożkach. Co o nich wiemy? Znamy promień i wysokość pierwszego z nich. Narysujmy go zatem. Oto pierwszy stożek. Zaznaczyłem jego wysokość oraz promień i ich odpowiednie wartości. Dodatkowo, znamy zależność pomiędzy objętościami tych dwóch stożków. Tutaj jest drugi stożek. Dlaczego jest mniejszy od pierwszego? Jak sądzisz? To wynika z treści zadania. Wiemy, że objętość tego stożka jest 8 razy większa od objętości tego stożka. Wprowadziłem następujące oznaczenia. Wielkości odnoszące się do pierwszego stożka zapisałem z indeksem 1. Natomiast do drugiego stożka z indeksem 2. A w jakim wzorze występuje zarówno wysokość jak i promień stożka? To oczywiście wzór na objętość. Jeżeli znajdziemy objętość tego stożka to będziemy o krok bliżej od znalezienia wysokości. A w jaki sposób to zrobić? Poprzez objętość tego stożka. Wiemy, że jest ona 8 razy większa a jednocześnie możemy ją obliczyć ponieważ znamy wysokość i promień. Jak będzie wyglądał wzór na objętość tego stożka? To 1/3pi razy r1 do kwadratu razy H1. Objętość zaznaczamy dużą literą V. Jako, że mówimy o objętości pierwszego stożka jest ona z indeksem 1. Spróbuj samodzielnie wyznaczyć tę objętość następnie porównaj swój wynik z moim. Pod H1 podstawiam 9 centymetrów a pod r1, 4 centymetry. Wykonuję teraz kolejne działania. 9 przez 3 to 3 a 4 do kwadratu to 16. Ostatecznie objętość tego dużego stożka to pi razy 48 centymetrów sześciennych. Świetnie, w takim razie jaka będzie objętość drugiego stożka? Jest 8 razy mniejsza a możemy to zapisać że V1 to 8V2. Wiedząc, że V1 to 48 razy pi centymetrów sześciennych oblicz V2. Pod V1 podstawiam wcześniej wyznaczoną przez nas objętość. Aby wyznaczyć V2 dzielę obustronnie przez 8. 48 przez 8 to 6 Czyli objętość mniejszego stożka to pi razy 6 centymetrów sześciennych. Jak teraz z objętości tego stożka możemy wyznaczyć jego wysokość? Zapiszmy odpowiedni wzór na V2. To 1/3pi r2 do kwadratu razy H2. H2 jest szukane. V2 znamy. No właśnie, ale nie znamy jeszcze r2. Czy aby na pewno? Wróćmy jeszcze raz do treści zadania. Wiemy, że promień drugiego stożka jest 2 razy krótszy od promienia pierwszego stożka. To jaka będzie jego długość? Promień tego stożka ma długość 4 centymetrów. W takim razie ten promień będzie miał długość 2 centymetrów. Mamy wszystkie informacje niezbędne do wyznaczenia wysokości czyli V2 i r2. Spróbuj wyznaczyć tę wysokość samodzielnie a następnie porównaj swoją odpowiedź z moją. Podstawiam odpowiednie liczby pod V2 oraz r2. Można zauważyć że po obu stronach równania znajduje się pi. Możemy je skrócić. Po lewej stronie zostaje tylko 6 centymetrów sześciennych. Tutaj 1/3 razy 4 centymetry kwadratowe razy H2. 4 razy 1/3, to 4/3 Aby wyznaczyć teraz H2 należy podzielić przez 4/3 centymetrów kwadratowych. Jak pamiętasz, dzielenie to mnożenie przez odwrotność. W takim razie H2 jest równe 6 razy 3/4 centymetra. 6 razy 3 to 18 18/4 to 9/2 a 9/2 to 4,5 centymetra. Zobacz jaką drogę przeszliśmy aby wyznaczyć wysokość tego stożka. Wyznaczyliśmy objętość pierwszego stożka potem drugiego stożka i wyznaczyliśmy również promień podstawy drugiego stożka. Jeżeli czegoś nie zrozumiałeś to cofnij film i prześledź tok rozumowania jeszcze raz. I jeszcze jedno zadanie: wycinek koła pokazany na rysunku jest powierzchnią boczną pewnego stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej oraz promień stożka. Dobrze, spójrzmy na rysunek. Co możemy powiedzieć o tym wycinku? Kąt pomiędzy tymi dwoma odcinkami wynosi 120 stopni. Te odcinki mają długość 6 centymetrów. Wiemy, że ten wycinek jest powierzchnią boczną stożka. Jak w takim razie znaleźć pole powierzchni bocznej? To będzie pole tego wycinka. Cóż, wiemy, że jest to fragment pewnego koła. Narysujmy więc to koło. Pytanie teraz, jak duży jest to fragment? Czy wiesz jak to sprawdzić? Całemu kołu odpowiada kąt pełny czyli 360 stopni. Jeżeli podzielimy 360 przez 120 to otrzymamy 3. Możemy w takim razie powiedzieć że pole całego naszego koła to 3 razy pole tego naszego wycinka. Widać to dokładnie po podzieleniu na 3 części. Każdy z tych trzech wycinków ma w sobie kąt 120 stopni. W takim razie skoro pole całego koła to 3 razy pole wycinka koła to pole naszego wycinka to 1/3 pola całego koła. Pytanie teraz, jakie jest pole tego koła? Możemy je obliczyć? Tak. Mamy podany jego promień. Spróbuj wyznaczyć pole tego koła samodzielnie. Pole koła to pi r kwadrat. Podstawiam 6 centymetrów i podnoszę do kwadratu. Pole całego koła to pi razy 36 centymetrów kwadratowych. W takim razie jakie jest pole naszego wycinka? To 1/3 całości. Czyli pi razy 12 centymetrów kwadratowych. No dobrze, ale po co nam w ogóle tutaj jakieś koła? Mówiliśmy przecież o stożku. Mieliśmy wyznaczyć pole powierzchni bocznej stożka które jest równe polu tego wycinka. Czy to koniec zadania? Jeszcze nie. Musimy jeszcze znaleźć promień tego stożka. Czy gdzieś na tym rysunku możemy go znaleźć? W polu powierzchni bocznej nie widać promienia bezpośrednio. A pamiętasz odpowiedni wzór? Pole powierzchni bocznej stożka to pi razy promień stożka razy tworząca stożka. Więc możemy wyznaczyć jakoś r. No, jednak nie znamy długości tworzącej. Ale czy na pewno? Ta tworząca znajduje się już na tym rysunku. Czy wiesz gdzie? Jeżeli z tego wycinka utworzymy powierzchnię boczną stożka to ten odcinek będzie równy obwodowi podstawy stożka. Natomiast promień tego koła będzie tworzącą stożka. W takim razie ma ona długość 6 centymetrów. Znamy pole powierzchni i znamy tworzącą. Możemy w takim razie wyznaczyć promień. Po raz kolejny spróbuj to zrobić samodzielnie. Podstawiam odpowiednie wartości liczbowe i dzielę jednocześnie przez pi oraz przez 6 centymetrów. Ostatecznie otrzymujemy że r to 2 centymetry. Znaleźliśmy promień tego stożka. Dobra robota. Oto przydatne wzory, które pomogą Ci przy rozwiązywaniu zadań ze stożkami. Wzór na objętość stożka na pole powierzchni bocznej oraz na pole powierzchni całkowitej. Zobaczyłeś właśnie kolejny film dotyczący stożków. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv