Wzór na objętość kuli i jej pole powierzchni jako pierwszy wyznaczył słynny grecki matematyk i wynalazca Archimedes. Według legendy był on tak dumny z tego odkrycia że nakazał na swoim nagrobku wyryć walec, stożek oraz właśnie kulę. Poznaliśmy do tej pory trzy najważniejsze bryły obrotowe: walec stożek oraz kulę. W dzisiejszym filmie postaramy się podsumować wszystkie najważniejsze informacje i zebrać je w jedno. Jakie charakterystyczne wielkości obliczaliśmy dla brył? Nie tylko obrotowych? Podstawową wielkością jest objętość brył. Czy pamiętasz wzory na objętości tych poszczególnych brył obrotowych? Zacznijmy od walca. Objętość walca to pole podstawy razy wysokość czyli pi r kwadrat razy h. Objętość stożka to również pole podstawy razy wysokość, ale jeszcze razy 1/3 czyli 1/3 razy pi r kwadrat razy h. Natomiast wzór na objętość kuli to 4/3pi r do sześcianu. Przećwiczmy teraz obliczanie tych objętości. Wprowadźmy następujące dane liczbowe. Niech wysokość tego walca ma długość 6 a promień długość 3. Niech podobne wymiary ma nasz stożek. A niech kula ma promień równy 3. Wyznaczmy wspólnie objętość walca. Co należy podstawić w miejsce r a co w miejsce h? W miejsce r podstawiamy trójkę natomiast w miejsce h podstawiamy szóstkę czyli objętość walca to pi razy 3 do kwadratu razy 6. 3 do kwadratu to 9, a 9 razy 6 to 54. Objętość walca to 54pi. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć objętość tego stożka oraz objętość tej kuli. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. W miejsce r podstawiamy trójkę a w miejsce h, szóstkę. 3 do kwadratu to 9 Tutaj skracają nam się trójki zostaje nam 3 i objętość walca to pi razy 18. Natomiast do wzoru na objętość kuli podstawiamy 3 w miejsce r. Czyli 4/3pi razy 27 trójki się skracają czyli mamy 4 pi razy 9 i ostatecznie pi razy 36. Świetnie, to zastanów się teraz która z tych brył ma największą objętość a która najmniejszą. Największą objętość ma walec, 54pi. Najmniejszą stożek, 18pi. Wystarczy porównać jaka liczba stoi przy pi. Szybko, przyjęcie już niedługo a my nadal nie mamy zapakowanych prezentów. Na imprezę urodzinową zanosimy 3 podarunki. Pudełko cukierków w kształcie walca świeczkę zapachowa w kształcie stożka i piłkę, oczywiście w kształcie kuli. Jak myślisz, ile papieru potrzeba aby zapakować każdy z tych prezentów? Oczywiście prezenty zawsze pakujemy z pewnym zapasem. Ale, aby wyznaczyć dokładną ilość potrzebnego papieru należy policzyć pole powierzchni całkowitej tych brył. Zacznijmy od walca. Na pole powierzchni całkowitej walca składa się pole powierzchni bocznej oraz pole podstaw. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem. Wzór na jej pole to 2pi r razy h. Podstawa walca to oczywiście koło ponieważ mamy dwie podstawy to wzór na ich pole to 2pi r kwadrat. Suma tych dwóch czynników to pole powierzchni całkowitej. Pole powierzchni całkowitej walca to 2pi r h dodać 2pi r kwadrat. A jak wygląda sprawa ze stożkiem? Powierzchnia boczna stożka to wycinek koła. Wzór na jej pole to pi razy r razy l. Gdzie l to tworząca stożka. Czyli ten odcinek. Podstawą stożka jest koło więc pole możemy wyznaczyć ze wzoru pi r kwadrat. W takim razie pole powierzchni całkowitej stożka to pi razy r razy l dodać pi r kwadrat. A co w przypadku kuli? Kula nie ma ani pola powierzchni bocznej ani pola podstaw. Jest po prostu pole powierzchni kuli. Jest ono dane wzorem 4pi r kwadrat. Zmierzyliśmy kluczowe wymiary każdego z tych prezentów. Znamy wysokość oraz promień pudełka z cukierkami. Długość tworzącej oraz długość promienia świeczki zapachowej. Oraz promień piłki. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie wyznaczyć pole powierzchni całkowitej tych wszystkich trzech przedmiotów. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Do tego wykorzystamy te wzory na pole powierzchni całkowitej. Zaczniemy od walca. W miejsce r wstawiamy 4 a w miejsce h wstawiamy 10. 4 razy 10 to 40 a 4 do kwadratu to 16. 40 razy 2 to 80 a 2 razy 16 to 32 80pi dodać 32pi to 112pi Teraz czas na stożek. W miejsce r podstawiam 5 a w miejsce l, 11. 5 razy 11 to 55 a 5 do kwadratu to 25. Sumujemy i otrzymujemy że pole powierzchni całkowitej tego stożka to pi razy 80. To jeszcze kula. W miejsce r podstawiamy 5. 5 do kwadratu to 25 a 25 razy 4 to 100. Pole powierzchni całkowitej tej piłki to 100 razy pi. Świetnie, wyznaczyliśmy pola powierzchni całkowitych tych wszystkich trzech prezentów. Zapakujmy je i ruszajmy w drogę. A teraz z imprezy urodzinowej trafiliśmy na dzień sera. Widzisz tutaj 3 sery. Jeden w kształcie walca pochodzący z Holandii. Drugi w kształcie stożka pochodzący z Francji. I trzeci w kształcie kuli pochodzący z Włoch. Przekrójmy każdy tych serów na pół. Co widzimy? No cóż, możemy zauważyć jak każdy z nich wygląda w środku. Tutaj możemy policzyć liczbę dziur. Ale nie o to nam chodziło. Jak zauważyłeś, wszystkie te trzy kształty to figury obrotowe. Walec, stożek oraz kula. Po ich przekrojeniu na pół widzimy tutaj pewne figury geometryczne. Tutaj jest prostokąt. Tutaj trójkąt, a tutaj koło. Pamiętasz jak nazywaliśmy te figury? To przekroje osiowe brył obrotowych. Czy możemy policzyć ich pole? Jasne, że tak. Boki prostokąta tworzą wysokość walca oraz jego średnica. Ten trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Jego podstawa to średnica stożka ramiona to tworzące. Natomiast koło będące przekrojem osiowym kuli ma taki sam promień jak ona. Czy umiesz podać wzory na pole tych przekrojów osiowych? Na przykład walca? To wzór na pole prostokąta czyli iloczyn boków, 2r razy h. A w stożku? Wzór na pole trójkąta. 1/2 razy podstawa czyli 2r razy wysokość będąca też wysokością stożka. Natomiast pole koła to oczywiście pi r kwadrat. I teraz ostatnie zadanie dla Ciebie. Mając poszczególne dane liczbowe wyznacz pola przekrojów osiowych tych trzech serów. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Pod r podstawiam 7, a pod h, 5. 7 razy 5 to 35 a 35 razy 2 to 70. Pod r podstawiam tutaj 6, a pod h, 8. 1/2 oraz 2 nam się skrócą a 6 razy 8 to 48. W przypadku kuli w miejsce r podstawiamy 4. A 4 do kwadratu to 16. Poniższy zestaw wzorów przyda Ci się do obliczania wielkości związanych z walcami stożkami i kulami. Są to wzory na objętość oraz wzory na pole powierzchni całkowitej tych brył. Pamiętaj, że przekrojem osiowym walca jest prostokąt. Przekrojem osiowym stożka trójkąt równoramienny a przekrojem osiowym kuli, koło. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z podsumowania o bryłach. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebook'u PistacjaMatematyka.