Pewien Japończyk zdobył rekord świata podając liczbę Pi z dokładnością do 100 000 miejsc po przecinku. Liczba Pi ma tych miejsc nieskończenie wiele, zaś kolejne są stale odkrywane. Takich liczb jest dużo więcej. Opowiem Ci o nich w tej lekcji. Zbiór liczb niewymiernych jest podzbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy go dużymi literami NW. Liczby niewymierne to takie liczby których nie możemy przedstawić za pomocą ułamka nieskracalnego liczb całkowitych. W poprzedniej lekcji z tej playlisty mówiliśmy o zbiorze liczb wymiernych. Naszym ostatnim zadaniem było zakreślenie wszystkich tych liczb które należą do zbioru liczb wymiernych. Teraz zajmiemy się zbiorem liczb niewymiernych. A więc zakreślmy wszystkie liczby, które należą do zbioru liczb niewymiernych. Są to wszystkie te liczby które zostały nam z poprzedniego zadania a więc Pi pierwiastek z piętnastu pierwiastek z trzech pierwiastek z dwóch i -5 pierwiastków z siedmiu. Jak widzisz, wszystkie liczby które nie są liczbami wymiernymi należą do zbioru liczb niewymiernych. Opowiem Ci teraz trochę więcej o liczbach niewymiernych. Liczby niewymierne nie są liczbami wyrwanymi z kosmosu. Możemy je spotkać właściwie wszędzie. Skupmy się jednak na przykładach matematycznych. Liczbę niewymierną możemy spotkać na przykład we wzorze na obwód i pole koła. Liczba Pi jest liczbą niewymierną. Liczbę niewymierną możemy też spotkać we wzorze na przekątną kwadratu. Kwadrat, którego boki mają długość a będzie miał przekątną równą a pierwiastek z dwóch. Pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną. W trójkącie równobocznym liczba niewymierna występuje we wzorze na wysokość i pole. Jest to pierwiastek z trzech. Czy w innych figurach też możemy spotkać liczby niewymierne? Weźmy trójkąt prostokątny o bokach długości 1, 2 i c. Jak myślisz, gdzie tutaj może znajdować się liczba niewymierna? Obliczmy długość boku c z twierdzenia Pitagorasa. Będzie to 1 kwadrat dodać 2 kwadrat równa się c kwadrat. A więc 1 dodać 4 równa się c kwadrat. 1 dodać 4 daje nam 5 równa się c kwadrat. Spierwiastkujmy obustronnie nasze równanie. I daje nam to wynik c1 równe pierwiastek z pięciu lub c2 równy minus pierwiastek z pięciu. Długość boku nie może być ujemna dlatego długość boku C wynosi pierwiastek z pięciu. Pierwiastek z pięciu jest liczbą niewymierną. Czy mnożąc, dzieląc, dodając i odejmując liczby niewymierne możemy uzyskać liczbę wymierną? Zróbmy kilka przykładów. Zacznijmy od dodawania. Weźmy 5 pierwiastków z dwóch dodać 3 pierwiastki z dwóch. 5 pierwiastków z dwóch dodać 3 pierwiastki z dwóch to 8 pierwiastków z dwóch. I zróbmy drugi przykład. Minus pierwiastek z siedmiu dodać pierwiastek z siedmiu da nam wynik 0. Jak widzisz, dodając liczby niewymierne możemy uzyskać wynik zarówno niewymierny jak i wymierny. Przejdźmy w takim razie do odejmowania. Weźmy 3 pierwiastki z trzech odjąć pierwiastek z trzech. 3 pierwiastki z trzech odjąć pierwiastek z trzech da nam wynik 2 pierwiastki z trzech. Rozwiążmy drugi przykład. Weźmy pierwiastek z dziewięćdziesięciu odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu. Pierwiastek z dziewięćdziesięciu możemy rozłożyć na pierwiastek z 9 razy 10 odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu. Pierwiastek z 9 razy 10 to to samo co pierwiastek z dziewięciu razy pierwiastek z dziesięciu i odjąć nasze 3 pierwiastki z dziesięciu. To się równa pierwiastek z dziewięciu to 3, razy pierwiastek z dziesięciu odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu czyli 0. Bo 3 pierwiastki z dziesięciu odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu daje nam 0. A więc odejmowanie liczb niewymiernych tak samo jak dodawanie liczb niewymiernych może dać nam wynik zarówno niewymierny jak i wymierny. Przejdźmy do mnożenia. Weźmy pierwiastek z trzech razy pierwiastek z pięciu. To jest to samo co pierwiastek z 3 razy 5 a więc pierwiastek z piętnastu. Zróbmy inny przykład. Weźmy pierwiastek z ośmiu razy pierwiastek z dwóch. Pierwiastek z ośmiu razy pierwiastek z dwóch jest to pierwiastek z szesnastu. A wiemy, że pierwiastek z szesnastu to to samo co 4. A więc mnożenie liczb niewymiernych tak samo jak przy dodawaniu i odejmowaniu może dać nam wynik zarówno niewymierny jak i wymierny. Zostało nam jeszcze dzielenie. Podzielmy pierwiastek z ośmiu przez pierwiastek z dwóch. Wiemy, że jest to to samo co pierwiastek z 8 przez 2 a więc pierwiastek z czterech. Pierwiastek z czterech równa się 2. I zróbmy drugi przykład. Podzielmy pierwiastek z sześciu przez pierwiastek z dwóch. Jest to to samo co pierwiastek z 6 przez 2 a więc pierwiastek z trzech. Tak więc dzielenie liczb niewymiernych może dać nam wynik albo wymierny, albo niewymierny. Rozwiążmy takie zadanie. Porównaj pierwiastki: 3 pierwiastki z trzech i 2 pierwiastki z siedmiu. Który z nich jest większy? Zacznijmy od uproszczonego przykładu. Jeśli mielibyśmy pierwiastek z trzech i pierwiastek z siedmiu to wiemy, że pierwiastek z siedmiu będzie większy. Wystarczy porównać liczby pod pierwiastkiem. Ale jak to się ma do liczb z naszego zadania? Weźmy 3 pierwiastki z trzech i przekształćmy je tak, żeby cała liczba znajdowała się pod pierwiastkiem. W tym celu musimy wciągnąć naszą trójkę pod pierwiastek. Pierwiastek jest drugiego stopnia a więc tą trójkę sprzed pierwiastka podnosimy do kwadratu pod pierwiastkiem i mnożymy razy 3 które już pod tym pierwiastkiem było. 3 do kwadratu to 9 i razy 3 pierwiastek z 9 razy 3 daje nam pierwiastek dwudziestu siedmiu. Przejdźmy teraz do drugiej liczby dwóch pierwiastków z siedmiu. 2 pierwiastki z siedmiu to to samo co pierwiastek z 2 do kwadratu razy 7. A więc pierwiastek z 4 razy 7. Pierwiastek z 4 razy 7 to pierwiastek z dwudziestu ośmiu. Teraz, żeby rozwiązać nasze zadanie musimy tylko porównać liczby pod pierwiastkiem. 3 pierwiastki z trzech to to samo co pierwiastek z dwudziestu siedmiu. 2 pierwiastki z siedmiu to to samo co pierwiastek z dwudziestu ośmiu. W takim razie widzimy że 3 pierwiastki z trzech są mniejsze od dwóch pierwiastków z siedmiu bo 27 jest mniejsze od 28. I to już wszystko. Zbiór liczb niewymiernych zawiera w sobie wszystkie liczby, których dokładnej wartości nie potrafimy podać. Na liczbach niewymiernych możemy wykonywać takie same działania jak na liczbach wymiernych. Czasem wynikiem tych działań będzie liczba niewymierna, a czasem wymierna. Zapraszam Cię do obejrzenia kolejnych filmów z tej playlisty oraz do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie.