Kwadrat różnicy

Słynny angielski uczony Izaak Newton wyprowadził wzór, który nazywany jest dwumianem Newtona. Wygląda paskudnie, prawda? Ale czy wiesz, że za jego pomocą możemy wyprowadzić wzory skróconego mnożenia dla dowolnej potęgi nie tylko drugiej i trzeciej? W tej lekcji opowiem Ci o wzorze skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy wyprowadzamy z podniesienia do kwadratu różnicy dwóch liczb. Korzystając z niego, nauczysz się szybko podnosić do drugiej potęgi bardzo duże liczby, takie jak 999. Wyprowadźmy więc wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy żebyśmy wiedzieli skąd on się bierze. Tak jak wspomniałam wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy wyprowadzamy z podniesienia do drugiej potęgi różnicy dwóch liczb. Chociaż z kolejności wykonywania działań wynika, że powinniśmy najpierw wykonać działanie w nawiasie, a więc odejmowanie to czasem nie możemy tego zrobić. Tak jak w tym przypadku. Na szczęście potęgowanie, to nic innego jak skrócony zapis mnożenia. Możemy więc je rozpisać jako iloczyn dwóch nawiasów. A mnożyć nawiasy już umiemy. A więc mamy a odjąć b, razy a odjąć b. Zacznijmy od a, z pierwszego nawiasu. Musimy je przemnożyć razy a z drugiego nawiasu i razy minus b z drugiego nawiasu. Da nam to, a do kwadratu, odjąć a razy b. Teraz przemnóżmy jeszcze minus b z pierwszego nawiasu, razy a z drugiego nawiasu i razy minus b z drugiego nawiasu. Da nam to minus b razy a dodać b do kwadratu. Bo minus razy minus, daje nam plus. Zauważ, że minus ab to to samo, co minus ba bo mnożenie jest przemienne. W takim razie, nasz wyznaczony wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy to a do kwadratu odjąć 2ab i dodać b do kwadratu. Zobacz. Możemy za każdym razem mnożyć wszystko razy wszystko. Ale wzór skróconego mnożenia to jest taka sztuczka, która pozwala nam zrobić to szybciej. Będą też trudniejsze przykłady które bez skorzystania ze wzoru skróconego mnożenia bardzo trudno będzie nam obliczyć. Zobaczmy reprezentacje graficzną naszego wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Mamy kwadrat o boku a. A więc jego pole, wynosi a do kwadratu. Odetnijmy od każdego z boków odcinek o długości b. O, w ten sposób. Jeśli odetniemy od boku a, odcinek b to jaką długość będzie miał ten fragment? Ten fragment będzie miał długość a odjąć b. To samo zrobimy z tym odcinkiem. Odcinamy odcinek o długości b i otrzymujemy 2 odcinki, jeden o długości b, a drugi: a odjąć b. Podzieliliśmy nasz kwadrat o polu a na trzy figury. Kwadrat o polu a odjąć b do kwadratu i dwa prostokąty, o polu a razy b. Zauważ, że nasze prostokąty o polu a razy b, nakładają się na siebie. Oznacza to, że ten fragment który się pokrywa, odcięliśmy dwa razy a to przecież niemożliwe. Pole tego kwadratu, to b do kwadratu. W takim razie odcięliśmy 2 razy b do kwadratu. A więc, żeby to działanie było poprawne musimy jeszcze dodać b do kwadratu. A więc pole tego małego kwadratu a odjąć b do kwadratu równa się polu naszego początkowego kwadratu a do kwadratu odjąć dwa prostokąty o polu a razy b i dodać mały kwadrat b do kwadratu. Pamiętaj, że a odjąć b do kwadratu nie równa się a do kwadratu odjąć b do kwadratu. Pola tych figur są różne. Przećwiczmy nasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Rozwiążmy przykład. x odjąć 7 do kwadratu Przypomnijmy sobie nasz wzór. a odjąć b do kwadratu, równa się a kwadrat odjąć 2ab i dodać b kwadrat. x będzie naszym a. Zaś 7, będzie b. Na początek podnosimy do kwadratu a a więc mamy, x do kwadratu odjąć 2 razy a, czyli x i razy b, czyli 7. I dodać b do kwadratu czyli 7 do kwadratu. x do kwadratu pozostaje bez zmian. Minus 2 razy x i razy 7 daje nam minus 14x i dodać 7 do kwadratu, czyli 49. Dla utrwalenia rozwiążmy jeszcze kilka przykładów korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Zacznijmy od przykładu 3t odjąć 5 do kwadratu. Przypomnijmy sobie nasz wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i już możemy zaczynać. Przepiszmy nasz przykład. 3t odjąć 5 do kwadratu. To się równa. Jak myślisz czym w tym wypadku będą a i b? 3t, jest naszą liczbą a. Zaś 5, naszą liczbą b. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie podstawić nasze a i b do wzoru. a do kwadratu to 3t podniesione do kwadratu odjąć 2 razy a i razy b. A więc odjąć 2 razy 3t i razy 5. I dodać b do kwadratu a więc 5 do kwadratu. 3t do kwadratu, to to samo co 3 do kwadratu razy t do kwadratu. Odjąć 2 razy 3t i razy 5, a więc 30t. I dodać 5 do kwadratu, czyli 25. 3 do kwadratu, to 9. Razy t do kwadratu, odjąć 30t i dodać 25. W ten sposób, rozwiązaliśmy przykład. Przejdźmy więc do kolejnego. Zapiszmy nasz przykład. Mamy pierwiastek z trzech odjąć pierwiastek z dwóch do kwadratu. Pierwiastek z trzech, to nasza liczba a. Zaś pierwiastek z dwóch, to liczba b. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie podstawić liczby a i b do naszego wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Podnosimy do kwadratu a, czyli zapiszmy pierwiastek z trzech do kwadratu. Odjąć 2 razy pierwiastek z trzech i razy pierwiastek z dwóch. I dodać pierwiastek z dwóch podniesiony do kwadratu. Pierwiastek z trzech do kwadratu to pierwiastek z trzech razy pierwiastek z trzech. Odjąć 2 razy pierwiastek z trzech i razy pierwiastek z dwóch. Liczby pod pierwiastkiem możemy ze sobą przemnożyć. Więc da nam to, pierwiastek z sześciu i dodać pierwiastek z dwóch do kwadratu czyli pierwiastek z dwóch razy pierwiastek z dwóch. Pierwiastek z trzech razy pierwiastek z trzech daje nam pierwiastek z dziewięciu. A to jest 3. Odjąć 2 pierwiastki z sześciu i dodać 2. Bo pierwiastek z dwóch przemnożony przez siebie, to 2. Otrzymaliśmy więc 5 odjąć 2 pierwiastki z sześciu. W ten sposób rozwiązaliśmy kolejny przykład. Przejdźmy zatem do ostatniego przykładu. Mamy podnieść do kwadratu liczbę 999. Chociaż tutaj nie musimy stosować wzoru skróconego mnożenia to warto to zrobić, bo dzięki temu unikniemy żmudnych obliczeń. Zastanów się, czy liczbę 999 podniesioną do kwadratu możemy zapisać inaczej? Tak, abyśmy mogli skorzystać z naszego wzoru skróconego mnożenia. Oczywiście. Liczba 999, to 1000 odjąć 1. Zapiszmy więc, że 999 do kwadratu to 1000 odjąć 1 do kwadratu. 1000 będzie naszą liczbą a zaś 1, będzie liczbą b. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać ten przykład. A następnie sprawdź swój wynik z moim. Rozpiszmy nasz przykład. a do kwadratu, to 1000 do kwadratu. Odjąć 2 razy a, czyli 1000 i razy b, czyli 1. I dodać b do kwadratu czyli 1 do kwadratu. 1000 do kwadratu to 1000000. Odjąć 2 razy 1000 i razy 1 czyli odjąć 2000 i dodać 1 bo 1 do kwadratu, to 1. Daje nam to wynik 998001. Zobacz, jak prosto udało nam się podnieść taką dużą liczbę do kwadratu. To już wszystko. Kwadrat różnicy obliczamy poprzez przemnożenie przez siebie nawiasu. Nie musimy koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ale jak widzisz bardzo nam ułatwia obliczenia i pozwala na szybsze rozwiązywanie zadań. Zachęcam Cię do obejrzenia innych filmów z tej playlisty i do zasubskrybowania naszego kanału na YouTubie.