Wzór na różnicę kwadratów jest często wykorzystywany przez architektów na przykład przy obliczaniu powierzchni działki która musi pozostać wolna od zabudowy. Łatwiej przecież odjąć od całości kwadratowy obrys budynku niż wyliczyć pole nieregularnej figury. W tej lekcji opowiem Ci o wzorze skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Czasami trafiamy na przykłady które wymagają od nas odjęcia od siebie dwóch wyrazów podniesionych do kwadratu. Takie jak y do kwadratu odjąć 52 do kwadratu czy 148 do kwadratu odjąć x do kwadratu. Nie możemy ich zapisać w prostszej formie. W takich sytuacjach bardzo nam się przydaje wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów który pozwala nam w łatwy sposób obliczyć z pozoru skomplikowane przykłady i takie, w których podniesienie do kwadratu którejś liczby jest bardzo trudne bez użycia kalkulatora. Wyprowadźmy zatem nasz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru na różnicę kwadratów. Zapiszmy a dodać b razy a odjąć b. Wyrażenia w nawiasach musimy przemnożyć. Przemnóżmy zatem a z pierwszego nawiasu razy a z drugiego nawiasu. To daje nam a do kwadratu. a z pierwszego nawiasu mnożymy jeszcze razy minus b z drugiego nawiasu. To daje nam minus ab. Przejdźmy do b z pierwszego nawiasu. Musimy je przemnożyć razy a z drugiego nawiasu co daje nam dodać ba i razy minus bez drugiego nawiasu co daje nam odjąć b do kwadratu. Te dwa wyrazy możemy skrócić. Czyli zostaje nam: a do kwadratu odjąć b do kwadratu. Taki wzór nazywamy wzorem na różnicę kwadratów ponieważ po redukcji otrzymaliśmy odejmowanie drugich potęg dwóch wyrazów. Zobaczmy, jak to wygląda graficznie. Mamy kwadrat o boku a. Jego pole wynosi więc a do kwadratu. Chcemy odjąć od niego pole kwadratu o boku b. Zróbmy to w ten sposób. Zobacz, że pole pozostałej figury to pole kwadratu o boku a odjąć pole kwadratu o boku b. A więc pole tej figury wynosi a do kwadratu odjąć b do kwadratu. Jest więc to różnica kwadratów. Proste, prawda? Skąd zatem wiemy, że różnica kwadratów to to samo, co iloczyn naszych dwóch nawiasów a dodać b razy a odjąć b? Zobaczmy. Mamy naszą figurę o polu a kwadrat odjąć b kwadrat. Narysujmy 2 odcinki. Jak myślisz, jak zmienią się długości tych odcinków? Teraz jeden bok ma długość a dodać b a od drugiego boku odejmiemy b. Narysujmy linie tak, aby powstał nam prostokąt o długości boków a dodać b i a odjąć b. Czy domyślasz się, co się stanie z tym niebieskim prostokątem? Przesuńmy go. I już gotowe. Z naszej figury o polu a do kwadratu odjąć b do kwadratu stworzyliśmy prostokąt którego boki mają długości a plus b i a minus b. Dokładnie tak, jak we wzorze na różnicę kwadratów. No dobrze, wiemy już skąd się wzięła różnica kwadratów. Możemy więc przećwiczyć nasz wzór na kilku przykładach. Mamy rozwiązać przykłady podstawiając je pod wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Polecenie sugeruje, aby do rozwiązania tych przykładów użyć poznanego wzoru. Zobaczysz, że dzięki temu obliczenia będą szybsze i prostsze. Przepiszmy nasz pierwszy przykład. Mamy x plus 3 razy x odjąć 3. Przypomnijmy sobie nasz wzór. x będzie naszą liczbą a. Zaś 3 będzie naszą liczbą b. W takim razie ten przykład możemy zapisać jako x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu. To daje nam x do kwadratu odjąć 9. Przejdźmy do drugiego przykładu. Mamy tu 137 do kwadratu odjąć 37 do kwadratu. Zauważ, że jest to sytuacja odwrotna niż w przykładzie pierwszym. Żeby obliczyć ten przykład musielibyśmy podnieść do kwadratu obie nasze liczby i dopiero wtedy moglibyśmy je od siebie odjąć. Zobacz jednak, że jeśli skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia nasze obliczenia będą dużo prostsze. Rozpiszmy więc nasz przykład zgodnie ze wzorem. W tym przypadku naszą liczbą a będzie 137 zaś liczbą b będzie 37. W takim razie możemy zapisać w pierwszym nawiasie 137 dodać 37 razy w drugim nawiasie 137 odjąć 37. 137 dodać 37 to 174 razy 137 odjąć 37, to 100. I daje nam to 174 razy 100 czyli 17400. W ten sposób rozwiązaliśmy drugi przykład. Przejdźmy zatem do kolejnych. Mamy przykład 3x odjąć 2 razy 3x dodać 2. Zauważ, że tym razem odejmowanie jest w pierwszym nawiasie a dodawanie w drugim. Jak myślisz, czy ma to znaczenie? Oczywiście, że nie ma bo mnożenie jest przemienne. Czyli wszystko jedno, które wyrażenie jest pierwsze, a które drugie wynik będzie taki sam. Pamiętaj jednak, że liczbą b będzie zawsze ta liczba, którą odejmujemy. Tak więc naszą liczbą a jest tutaj 3x zaś liczbą b jest 2. Znamy nasze liczby a i b. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać ten przykład a następnie sprawdź swój wynik z moim. a do kwadratu to 3x do kwadratu odjąć 2 do kwadratu. To daje nam 9x do kwadratu odjąć 4. Rozwiązaliśmy kolejny przykład. Został jeszcze jeden. Mamy przykład: pierwiastek z siedmiu dodać pierwiastek z trzech razy pierwiastek z trzech odjąć pierwiastek z siedmiu. Jak myślisz, czy w tym przykładzie możemy zastosować nasz wzór skróconego mnożenia? Zauważ, że w pierwszym nawiasie nasze wyrazy zapisane są odwrotnie. Na szczęście dodawanie tak, jak mnożenie jest przemienne. Możemy je wykonywać w dowolnej kolejności. Możemy więc zamienić miejscami przeszkadzające nam wyrazy. Zwróć uwagę, że ta sztuczka nie działa dla odejmowania. Ważne jest czy odejmujemy większą liczbę od mniejszej, czy mniejszą od większej. Dlatego zamienić miejscami możemy tylko wyrazy w pierwszym nawiasie. Zatrzymaj teraz film i zastanów się czym będzie nasze a, a czym b. Wyrazem a będzie pierwiastek z trzech wyrazem b będzie pierwiastek z siedmiu. Tak jak mówiłam wcześniej liczbą b będzie zawsze ta liczba, którą odejmujemy. Skoro znamy nasze a i b możemy rozwiązać dalej przykład. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie obliczyć ten przykład a następnie sprawdź swój wynik z moim. Nasze równanie zapisujemy jako pierwiastek z trzech do kwadratu odjąć pierwiastek z siedmiu do kwadratu. Pierwiastek drugiego stopnia podniesiony do kwadratu daje nam liczbę pod pierwiastkiem. Otrzymamy więc 3 odjąć 7. A to jest minus 4. W ten sposób rozwiązaliśmy kolejny przykład. Rozwiążmy ostatnie zadanie. Zastanówmy się, jak rozwiązać równanie x do kwadratu równa się 9. Przepiszmy nasz przykład. x do kwadratu równa się 9. Przypomnijmy sobie nasz wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i zastanówmy się, co możemy zrobić z tym przykładem. Możemy przenieść 9 na lewą stronę naszego równania. Otrzymamy wtedy x do kwadratu odjąć 9 równa się zero. Czy to nam przypomina którąś stronę naszego wzoru? Według wzoru mamy a do kwadratu odjąć b do kwadratu. a do kwadratu to x do kwadratu. Czy 9 można zapisać jako kwadrat liczby? Tak, przecież to 3 do kwadratu. A więc mamy: x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu równa się zero. Więc liczbą a będzie x zaś liczbą b będzie 3. Teraz już trochę lepiej, prawda? Rozpiszmy nasz przykład zgodnie ze wzorem. Otrzymamy wtedy: x dodać 3 razy x odjąć 3 i to się równa zero. Zastanówmy się, kiedy wynik mnożenia jest równy zeru? Kiedy jedna z tych liczb równa się zero. W takim razie mamy tutaj dwie możliwości. Możemy zapisać x plus 3 równa się zero i x odjąć 3 równa się zero. To da nam dwa wyniki. x równe minus 3 i x równe 3. Jak myślisz, czy jest to błąd? Nie jest. Zarówno minus 3, jak i 3 podniesione do kwadratu da nam 9. Po prostu to równanie ma dwa rozwiązania. W ten sposób rozwiązaliśmy ostatnie zadanie. Różnica kwadratów a do kwadratu odjąć b do kwadratu powstaje z przemnożenia dwóch nawiasów a plus b i a minus b. Nie zawsze musimy stosować ten wzór skróconego mnożenia. Możemy wyliczać takie działania po kolei przemnażając wszystkie wyrazy. Ale jak widzisz, wzór ten skraca nam obliczenia i pozwala intuicyjnie znajdować rozwiązania równań. Zapraszam Cię do obejrzenia wszystkich filmów z tej playlisty i do polubienia naszego fanpage'a na Facebook 'u PistacjaMatematyka.