Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki znanym już od starożytności. Jej pierwsze formy opracowali Babilończycy i Grecy. Sama nazwa algebra pochodzi z dzieła o odtwarzaniu i przeciwstawianiu napisanego w XI wieku przez perskiego matematyka. Z tej lekcji dowiesz się jak upraszczać wyrażenia algebraiczne wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia. Rozwiążmy takie zadanie: doprowadź poniższe wyrażenia do najprostszej postaci. Przepiszmy pierwsze wyrażenie. Mamy 2z odjąć 1 razy 2z dodać 1 i odjąć 2z odjąć 1 do kwadratu. Zauważ, że pierwsze dwa nawiasy to wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Przypomnijmy sobie ten wzór. Mamy a do kwadratu odjąć b do kwadratu równa się a dodać b razy a odjąć b. A więc naszą liczbą a będzie tutaj 2z zaś liczbą b będzie 1. Możemy więc zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów że te dwa nawiasy, to to samo co 2z do kwadratu odjąć 1 do kwadratu. Przejdźmy do kolejnej części naszego wyrażenia. Ten zapis to nic innego jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Przypomnijmy sobie ten wzór. Zobacz, że a i b nam się nie zmienia a więc nasze a to 2z, a b to 1. Rozpiszmy to potęgowanie zgodnie ze wzorem. Przed naszym wyrażeniem mamy minus dlatego wynik naszego potęgowania zapiszemy w nawiasie żeby później nie zapomnieć przemnożyć wszystkich wyrazów w nawiasie razy minus 1. Będziemy tu mieli 2z do kwadratu odjąć 2 razy 2z i razy 1 i dodać 1 do kwadratu. 2z do kwadratu to 4z do kwadratu odjąć 1 i odjąć 4z do kwadratu odjąć 4z bo 2 razy 2z i razy 1 to 4z i dodać 1. Pozbądźmy się teraz tego nawiasu. Musimy zmienić znaki na przeciwne dla wszystkich wyrazów w nawiasie. Mamy zatem 4z do kwadratu odjąć 1 i odjąć 4z do kwadratu dodać 4z bo minus razy minus daje nam plus i odjąć 1. Zobacz, że mamy 4z do kwadratu i minus 4z do kwadratu. Możemy je skrócić. Zostaje nam więc 4z odjąć 2. Udało nam się sprowadzić nasze wyrażenie do najprostszej postaci. Możemy więc przejść do drugiego przykładu. Przepiszmy nasze drugie wyrażenie. Mamy 3 razy x dodać 2y do kwadratu odjąć 3 razy x odjąć 2y do kwadratu dodać x odjąć 2y razy 2x dodać y. I to się równa. Rozpiszmy nasze nawiasy zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia. x dodać 2y do kwadratu to wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Zobacz, że nasz x jest liczbą a zaś 2y liczbą b. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań potęgowanie wykonujemy przed mnożeniem więc najpierw podniesiemy nawias do potęgi z użyciem wzoru a później, wynik przemnożymy przez 3. Wynik potęgowania zapisujemy w nawiasie bo potem całość trzeba będzie pomnożyć przez 3. Rozpiszmy więc nasze wyrażenie zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia. Mamy 3 razy i nasz pierwszy nawias jest kwadratem sumy. Więc rozpiszmy go zgodnie z tym wzorem. Będzie to x kwadrat dodać 2 razy a czyli razy x i razy b czyli razy 2y i dodać b do kwadratu czyli 2y do kwadratu odjąć 3 razy. Nasz drugi nawias rozwiniemy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozpisać tę część a następnie sprawdź swój wynik z moim. Tutaj znowu a to nasz x a b to 2y. A więc będziemy mieli a do kwadratu czyli x do kwadratu odjąć 2 razy x i razy 2y i dodać b do kwadratu czyli 2y do kwadratu. Zauważ, że ostatnia część naszego wyrażenia nie przypomina wzoru skróconego mnożenia. Mamy x odjąć 2y razy 2x dodać y. Musimy więc przemnożyć wszystkie wyrazy. Tu nie zapisujemy wyniku działania w nawiasie bo przed całym działaniem mamy plus. x razy 2x da nam 2x do kwadratu x razy y da nam xy. Dalej mamy minus 2y razy 2x co da nam minus 4xy i minus 2y razy y da nam minus 2y do kwadratu I to się równa. Zatrzymaj teraz film i spróbuj rozwiązać ten przykład do końca samodzielnie a następnie sprawdź swój wynik z moim. Przepiszmy jeszcze naszą trójkę z przodu. Mamy 3 razy x do kwadratu 2 razy x i razy 2y daje nam 4xy i dodać 2y do kwadratu czyli 4y kwadrat. Odjąć 3 razy x do kwadratu. I tutaj tak samo. Mamy minus 2 razy x i razy 2y czyli minus 4xy i dodać 4y do kwadratu dodać 2x do kwadratu xy odjąć 4 razy xy daje nam minus 3xy i odjąć 2y do kwadratu. Przemnóżmy nasze nawiasy razy 3. Mamy 3x do kwadratu dodać 12xy i dodać 12y do kwadratu. W tej części wszystkie wyrazy mnożymy razy minus 3. Mamy więc: odjąć 3x kwadrat dodać 12xy bo minus razy minus daje nam plus i odjąć 12y do kwadratu i dalej dodać 2x do kwadratu odjąć 3xy i odjąć 2y do kwadratu. I to się równa. Podkreślmy wyrazy podobne. Mamy 3x do kwadratu minus 3x do kwadratu i 2x do kwadratu. 3x do kwadratu i minus 3x do kwadratu możemy skrócić. Więc zostaje nam 2x do kwadratu. Przejdźmy do wyrazów z xy. Mamy 12 xy Drugi raz 12xy i minus 3xy. To daje nam 21xy. I przejdźmy do wyrazów z y do kwadratu. Mamy 12y do kwadratu minus 12y do kwadratu i minus 2y do kwadratu. 12y do kwadratu i minus 12y do kwadratu możemy skrócić. Więc zostaje nam minus 2y do kwadratu. W ten sposób uprościliśmy nasze wrażenie. Rozwiążmy jeszcze jedno zadanie. Oblicz wartość poniższego wyrażenia algebraicznego dla x równego minus 1/7 i y równego 0,015. Niestety te liczby sugerują skomplikowane rachunki. Łatwiej nam będzie obliczyć wartość tego wyrażenia, jeśli je uprościmy. Możemy ułatwić sobie zadanie jeszcze bardziej, jeżeli skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Zauważ, że pierwszy nawias możemy rozwinąć zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. W tym zadaniu znowu musimy zacząć od potęgowania dopiero później będziemy mogli przemnożyć nasz wynik przez 4. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie podstawić do wzoru skróconego mnożenia nasze wyrazy z pierwszego nawiasu a później sprawdź czy zrobiliśmy to tak samo. W takim wypadku naszym a będzie liczba x zaś b to będzie y. Rozpiszmy zatem pierwszy nawias. Mamy 4 razy x do kwadratu odjąć 2xy i dodać y do kwadratu. Drugą część naszego wyrażenia algebraicznego możemy po prostu przemnożyć. Mamy tutaj: minus 4y razy y co daje nam minus 4y do kwadratu i minus 4y razy minus 2x co daje nam plus 8xy. Przejdźmy zatem do ostatniej części. Tę część rozpiszemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Zatrzymaj teraz film i zastanów się czym będzie nasze a, a czym b. Pamiętasz, że w dodawaniu jak w mnożeniu możemy zmieniać kolejność wyrazów a wynik zostanie taki sam? Dzięki temu w tym przykładzie możemy zastosować wzór skróconego mnożenia. W tym wyrażeniu naszym a będzie liczba 2x zaś b będzie 3. Ponieważ b we wzorze skróconego mnożenia na różnicę kwadratów odejmujemy i możemy dalej rozpisać nasze wyrażenie. Będzie to odjąć a do kwadratu a więc 2x do kwadratu odjąć b do kwadratu czyli 3 do kwadratu. I zamykamy nawias. To się równa. A więc będziemy mieli 4 razy x do kwadratu odjąć 2xy i dodać y do kwadratu odjąć 4y do kwadratu dodać 8xy i odjąć nawias, w którym mamy 2x do kwadratu czyli 4x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu czyli 9. Przemnóżmy nasze wyrazy w nawiasie razy 4. Będzie to 4x do kwadratu odjąć 8xy, ponieważ 2xy razy 4 to 8xy i dodać 4y do kwadratu odjąć 4y do kwadratu dodać 8xy. W nawiasie mamy 4x do kwadratu i razy minus czyli odjąć 4x do kwadratu i odjąć minus co daje nam plus 9. Możemy skrócić 4x do kwadratu z minus 4x do kwadratu i minus 8xy z 8xy a także 4y do kwadratu z minus 4y do kwadratu. W takim razie wartością naszego wyrażenia algebraicznego jest po prostu 9. Zobacz, że wcale nie potrzebowaliśmy wartości x i y, żeby łatwo obliczyć to wyrażenie. Wzory skróconego mnożenia ułatwiają nam upraszczanie z pozoru skomplikowanych wyrażeń algebraicznych. Dzięki nim, możemy szybko rozwiązywać trudne przykłady. Zapraszam Cię do obejrzenia wszystkich filmów z playlisty o wzorach skróconego mnożenia i do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube.