Usuwanie niewymierności z mianownika

Rolnicy bardzo często zmagają się ze szkodnikami na polach. Muszą wtedy podejmować różne działania żeby się ich pozbyć. W matematyce takimi szkodnikami są niewymierności w mianowniku. W tej lekcji zajmiemy się usuwaniem matematycznych szkodników z mianownika. Rozwiążmy takie zadanie. Usuń niewymierność z mianownika. Zastanówmy się najpierw czym jest niewymierność w mianowniku. O niewymierności w mianowniku mówimy wtedy, gdy w mianowniku mamy liczbę niewymierną a więc taką, której nie możemy dokładnie wyznaczyć. Przykładami takich liczb są: pi pierwiastek z dwóch, pierwiastek z siedmiu czy liczba Eulera będąca podstawą logarytmu naturalnego. Przez liczbę niewymierną w mianowniku nie znamy dokładnej wartości naszego ułamka. Tak więc usuwanie niewymierności z mianownika polega na takim przekształceniu naszego ułamka żeby w mianowniku pojawiła się liczba wymierna, a więc taka której wartość znamy dokładnie na przykład 4 które jest liczbą całkowitą dodatnią a więc wymierną. Więcej o liczbach niewymiernych i wymiernych możesz dowiedzieć się z playlisty o zbiorach liczbowych. Przejdźmy do naszego zadania. Weźmy nasz pierwszy przykład czyli 1 przez pierwiastek z dwóch. Żeby pozbyć się pierwiastka z naszego działania musimy podnieść go do drugiej potęgi a więc przemnożyć przez siebie samego bo mnożenie pierwiastka przez siebie daje nam liczbę pod pierwiastkiem, prawda? Zapiszmy więc, że nasz przykład równa się 1 przez pierwiastek z dwóch razy kreska ułamkowa, bo przecież chcemy przemnożyć pierwiastek w mianowniku i w mianowniku mamy pierwiastek z dwóch. Jak myślisz, co powinniśmy zapisać w liczniku naszego drugiego ułamka? W liczniku również powinniśmy zapisać pierwiastek z dwóch. Dzięki temu licznik i mianownik naszego ułamka razem dają nam jedynkę bo moglibyśmy je ze sobą skrócić. Ale tutaj musimy się od tego powstrzymać bo inaczej nie udałoby nam się usunąć niewymierności. A więc przy usuwaniu niewymierności z mianownika mnożymy nasz ułamek razy 1. Dzięki temu wartość naszego ułamka się nie zmienia i otrzymujemy liczbę o takiej samej wartości ale bez niewymierności w mianowniku. Wymnóżmy więc nasze ułamki. Mamy 1 razy pierwiastek z dwóch co daje nam po prostu pierwiastek z dwóch. A w mianowniku mamy pierwiastek z dwóch razy pierwiastek z dwóch czyli pierwiastek z dwóch razy 2 a to daje nam pierwiastek z dwóch przez pierwiastek z czterech. Czyli pierwiastek z dwóch przez 2. Udało nam się usunąć pierwszą niewymierność z mianownika. Jak myślisz, dlaczego ostateczna postać jest lepsza od pierwszej? Przez to, że usunęliśmy niewymierność z mianownika mamy ją teraz w liczniku. Gdybyśmy chcieli obliczyć wartość naszego przykładu w jego początkowej formie musielibyśmy na prostym kalkulatorze najpierw obliczyć pierwiastek z dwóch i zapisać sobie wynik, a później 1 podzielić przez wynik pierwiastkowania. W drugim przypadku pierwiastek z dwóch możemy od razu podzielić przez 2. Istotniejszą rzeczą niż czas obliczeń jest to, że w pierwszym przypadku otrzymalibyśmy wynik obarczony większym błędem. Oczywiście to, jak duża będzie rozbieżność między wynikami zależy od tego jak dokładnego przybliżenia liczby niewymiernej użyjemy oraz konkretnego przykładu. Tutaj rozbieżność nie jest duża ale istnieją przykłady dla których będzie zdecydowanie większa. Skoro poszło nam tak dobrze przejdźmy do drugiego przykładu. Mamy tutaj 6 przez pierwiastek z trzech. Ten przykład rozwiązujemy analogicznie do pierwszego. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozpisać ten przykład a następnie sprawdź czy udało nam się rozwiązać go tak samo. 6 przez pierwiastek z trzech musimy przemnożyć razy pierwiastek z trzech w mianowniku i w liczniku żeby otrzymać jedynkę. 6 razy pierwiastek z trzech to 6 pierwiastków z trzech. Zaś pierwiastek z trzech razy pierwiastek z trzech możemy zapisać jako pierwiastek z trzech razy 3. I to się równa 6 pierwiastków z trzech przez pierwiastek z dziewięciu. I to się równa 6 pierwiastków z trzech przez 3. Skróćmy jeszcze szóstkę i trójkę. Tak więc otrzymaliśmy 2 pierwiastki z trzech. Wcale nie takie trudne, prawda? Zróbmy troszkę trudniejsze przykłady. Mamy 1 przez 2 odjąć pierwiastek z dwóch. Pamiętasz, jak mówiłam że mianownik podnosimy do kwadratu? Tutaj musimy zrobić tak samo. Chcemy podnieść do kwadratu drugi wyraz. Jednak gdybyśmy pomnożyli ten ułamek razy pierwiastek z dwóch w liczniku i w mianowniku to przez pierwiastek z dwóch musielibyśmy też pomnożyć 2 w mianowniku czyli niewymierność by została na dole i tylko zmieniła miejsce. Dlatego właśnie musimy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Dzięki niemu podniesiemy każdy z naszych wyrazów w mianowniku do kwadratu i usuniemy niewymierność z mianownika. Przypomnijmy go sobie. a do kwadratu odjąć b do kwadratu równa się a dodać b razy a odjąć b. Naszym a będzie tutaj 2. Zaś b pierwiastek z dwóch. Zobacz, że mamy już jeden nawias z minusem. Musimy więc nasz ułamek 1 przez 2 odjąć pierwiastek z dwóch przemnożyć razy 2 dodać pierwiastek z dwóch. Oczywiście w mianowniku i w liczniku. Dzięki temu w liczniku mamy 2 dodać pierwiastek z dwóch zaś w mianowniku mamy zgodnie ze wzorem a odjąć b razy a dodać b. A to się równa a do kwadratu odjąć b do kwadratu. Czyli 2 do kwadratu odjąć pierwiastek z dwóch do kwadratu. Licznik przepisujemy zaś w mianowniku 2 do kwadratu to 4. Odjąć pierwiastek z dwóch do kwadratu czyli 2. To daje nam 2 dodać pierwiastek z dwóch przez 2. A to się równa 1 dodać 1/2 razy pierwiastek z dwóch. Rozwiązaliśmy kolejny przykład. Przejdźmy więc do kolejnego. Mamy tutaj 2 przez pierwiastek z dziewiętnastu dodać 4. Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie rozwiązać ten przykład zgodnie ze wzorem na różnicę kwadratów a następnie sprawdź swój wynik z moim. Tym razem w mianowniku mamy dodawanie. Aby uzyskać wzór skróconego mnożenia musimy pomnożyć przez wyrażenie z odejmowaniem. Naszym a będzie tutaj pierwiastek z dziewiętnastu, zaś b 4. Nasz przykład 2 przez pierwiastek z dziewiętnastu plus 4 mnożymy razy pierwiastek z dziewiętnastu odjąć 4 w mianowniku i tak samo w liczniku. Mamy więc 2 pierwiastki z dziewiętnastu odjąć 8. Podzielić przez pierwiastek z dziewiętnastu do kwadratu czyli 19 odjąć 4 do kwadratu, czyli 16. Czyli 2 pierwiastki z dziewiętnastu odjąć 8 przez 3. Usunęliśmy kolejną niewymierność z mianownika. Dla utrwalenia zróbmy dwa ostatnie przykłady. Mamy ułamek pierwiastek z siedmiu przez pierwiastek z trzech plus pierwiastek z dwóch. Jak powinna wyglądać nasza jedynka przez którą mnożymy nasz ułamek żebyśmy usunęli niewymierność z mianownika? Zatrzymaj film i spróbuj bez podpowiedzi rozpisać jedynkę, a następnie sprawdź swój wynik z moim. Nasz ułamek mnożymy razy pierwiastek z trzech odjąć pierwiastek z dwóch w mianowniku i w liczniku. Bo zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów w jednym nawiasie mamy a dodać b a w drugim a odjąć b. Otrzymamy więc: Pierwiastek z siedmiu razy pierwiastek z trzech to pierwiastek z dwudziestu jeden. Odjąć pierwiastek z siedmiu razy pierwiastek z dwóch to pierwiastek z czternastu. Przez pierwiastek z trzech do kwadratu odjąć pierwiastek z dwóch do kwadratu. Mamy więc pierwiastek z dwudziestu jeden odjąć pierwiastek z czternastu przez 3 odjąć 2. A więc pierwiastek z dwudziestu jeden odjąć pierwiastek z czternastu przez 1. A więc otrzymaliśmy pierwiastek z dwudziestu jeden odjąć pierwiastek z czternastu. Rozwiązaliśmy kolejny przykład. Ostatnim przykładem w tej lekcji jest 4 dodać pierwiastek z pięciu przez pierwiastek z trzech odjąć pierwiastek z pięciu. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać ten przykład a następnie sprawdź swój wynik z moim. Ponieważ usuwamy niewymierność z mianownika to tworząc jedynkę sugerujemy się tym co jest na dole ułamka. Mamy tam odejmowanie, więc domnażamy przez wyrażenie z dodawaniem. Nasz ułamek równa się 4 dodać pierwiastek z pięciu przez pierwiastek z trzech odjąć pierwiastek z pięciu. A więc naszą jedynką, będzie tutaj pierwiastek z trzech dodać pierwiastek z pięciu w liczniku i mianowniku. To daje nam w liczniku 4 dodać pierwiastek z pięciu razy pierwiastek z trzech dodać pierwiastek z pięciu przez pierwiastek z trzech do kwadratu odjąć pierwiastek z pięciu do kwadratu. Zauważ, że w mianowniku możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów ale w liczniku musimy wymnożyć każdy wyraz z każdym. Mamy więc 4 razy pierwiastek z trzech dodać 4 razy pierwiastek z pięciu dodać pierwiastek z pięciu razy pierwiastek z trzech czyli pierwiastek z piętnastu i dodać pierwiastek z pięciu razy pierwiastek z pięciu czyli po prostu 5. W mianowniku z kolei pierwiastek z trzech do kwadratu to po prostu 3 odjąć pierwiastek z pięciu do kwadratu czyli 5. I to się równa 4 pierwiastki z trzech dodać 4 pierwiastki z pięciu dodać pierwiastek z piętnastu i dodać 5 przez minus 2. W zasadzie już rozwiązaliśmy nasz przykład ale uprośćmy go jeszcze trochę. Podzielmy każdy wyraz w liczniku przez minus 2. 4 pierwiastki z trzech przez minus 2 to minus 2 pierwiastki z trzech. 4 pierwiastki z pięciu przez minus 2 to minus 2 pierwiastki z pięciu. Pierwiastek z piętnastu podzielmy przez minus 2 to da nam odjąć 1/2 razy pierwiastek z piętnastu i 5 przez minus 2 da nam minus 2 i 1/2. I to już wszystko. Usuwanie niewymierności z mianownika polega na przekształceniu ułamka w taki sposób żeby nie zmienić jego wartości. Wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów przydaje nam się przy bardziej skomplikowanych wyrażeniach. Zachęcam Cię do obejrzenia wszystkich filmów z playlisty o wzorach skróconego mnożenia i do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv