Znamy kilka rodzajów dowodów. Osobisty, rejestracyjny, dowód w sprawie. Moglibyśmy szukać jeszcze innych przykładów ale w tej lekcji skupimy się na dowodach w matematyce i wykorzystamy w nich wzory skróconego mnożenia. Rozwiążmy takie zadanie: wykaż, że liczba 199 do kwadratu odjąć 1 jest podzielna przez 100. Przepiszmy nasz przykład. 199 do kwadratu odjąć 1 równa się. Ten przykład moglibyśmy po prostu obliczyć na kalkulatorze. To by było poprawne rozwiązanie zadania. Zastanówmy się jednak czy dałoby się to zrobić inaczej? Na przykład rozpisując to wyrażenie? Mamy 199 do kwadratu i odjąć 1 to przypomina wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wystarczy, że będziemy pamiętać, że 1 to przecież to samo, co 1 do kwadratu. W takim razie będziemy mieli 199 do kwadratu odjąć 1 do kwadratu a to już na pewno jest wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. 199 będzie naszą liczbą a zaś 1 będzie liczbą b. I rozpiszmy ten przykład zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia. a do kwadratu odjąć b do kwadratu równa się a dodać b razy a odjąć b. Czyli 199 dodać 1 razy 199 odjąć 1. Wykonajmy działania w nawiasach. 199 dodać 1 to 200 razy 199 odjąć 1 czyli 198. Zauważ, że wcale nie musimy tego mnożyć. 200 równa się 2 razy 100. Czyli możemy zapisać nasze działanie jako 2 razy 100 i razy 198. Mieliśmy wykazać, że liczba 199 podniesiona do kwadratu pomniejszona o 1 jest podzielna przez 100. Skoro w iloczynie mamy liczbę 100 to znaczy, że końcowy wynik mnożenia będziemy mogli podzielić przez 100 bez reszty. A więc dowód został zakończony. Rozwiążmy drugie zadanie. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8. Tę zależność mamy wykazać dla całej grupy liczb. A więc tutaj nie możemy posługiwać się konkretnymi liczbami. Zastanówmy się, jak zapisać nasze liczby nieparzyste. Narysujmy oś liczbową. Mamy oś od zera do nieskończoności. Weźmy jakąś liczbę n należącą do zbioru liczb całkowitych. Czy możemy mieć pewność, że ta liczba jest parzysta albo nieparzysta? Nie możemy mieć tej pewności. Co więc musimy zrobić? Naszą liczbę n musimy przemnożyć przez 2. Czy wiesz dlaczego? Dzięki przemnożeniu naszej liczby n przez 2 będziemy mieli pewność że liczba 2n jest liczbą parzystą bo przecież każda liczba pomnożona razy 2 jest też podzielna przez 2 a podzielność przez 2 jest warunkiem parzystości. No dobrze, mamy liczbę parzystą. A więc kolejną liczbą będzie 2n plus 1 i jest ona na pewno nieparzysta bo jest o 1 większa od liczby parzystej. Następną liczbą na osi będzie oczywiście liczba parzysta a dalej nieparzysta. Więc naszą drugą liczbą nieparzystą będzie 2n plus 3. Mamy nasze dwie kolejne liczby nieparzyste przejdźmy więc do rozwiązania zadania. Mamy wykazać, że różnica kwadratów naszych dwóch liczb nieparzystych jest podzielna przez 8. A więc zapiszmy naszą drugą liczbę nieparzystą 2n plus 3 do kwadratu bo w końcu mamy ją podnieść do kwadratu odjąć 2n plus 1 do kwadratu. Odejmujemy od większej liczby mniejszą po to, żeby mieć dodatni wynik. Rozpisaliśmy treść naszego zadania. Teraz musimy tylko dowieść że ta liczba jest podzielna przez 8. Zastanów się, z jakiego wzoru skróconego mnożenia możemy tutaj skorzystać żeby rozwiązać to zadanie. To zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby. Możemy użyć, tak jak w poprzednim zadaniu wzoru na różnicę kwadratów. Spróbujmy jednak rozwiązać je inaczej. Nasz pierwszy nawias, tak samo jak drugi jest kwadratem sumy. A przecież znamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, prawda? Przypomnijmy go sobie. a dodać b do kwadratu równa się a do kwadratu dodać 2ab i dodać b do kwadratu. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozpisać ten przykład zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia a następnie sprawdź czy udało nam się go rozpisać tak samo. W pierwszym nawiasie liczbą a, będzie 2n. Zaś b, 3. W drugim nawiasie 2n również będzie liczbą a zaś liczbą b będzie 1. Skoro tak, to rozpiszmy oba nawiasy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia. Z pierwszego nawiasu otrzymamy 2n do kwadratu dodać 2 razy 2n i razy 3 i dodać 3 do kwadratu. Rozwinięcie drugiej części naszego wyrażenia zapiszemy w nawiasie ponieważ przed tą częścią znajduje się minus odjąć i w nawiasie zapiszemy 2n do kwadratu dodać 2 razy 2n i razy 1 i dodać 1 do kwadratu zamknijmy nawias i to się równa 2n do kwadratu to 4n do kwadratu. 2 razy 2n i razy 3, to 12n a więc dodać 12n i dodać 3 do kwadratu, czyli 9. I w nawiasie mamy 2n do kwadratu, czyli 4n do kwadratu dodać 2 razy 2n i razy 1, czyli dodać 4n i dodać 1 do kwadratu, czyli 1. Pozbądźmy się teraz jeszcze tego nawiasu. Przepiszmy nasze trzy pierwsze wyrazy. 4n do kwadratu dodać 12n i dodać 9. Przed nawiasem mamy minus. A więc każdy wyraz w nawiasie musimy przepisać z przeciwnym znakiem. 4n do kwadratu i minus przed nawiasem dają nam minus 4n do kwadratu minus 4n i odjąć 1. Mamy 4n do kwadratu i minus 4n do kwadratu. Te dwa wyrazy możemy zredukować. W takim razie zostanie nam 12n odjąć 4n, czyli 8n i 9 odjąć 1, czyli 8. A więc mamy 8n dodać 8. Wyciągnijmy ósemkę przed nawias. Otrzymamy wtedy 8 razy n plus 1. Skoro mamy tutaj iloczyn to znaczy że ta liczba jest również podzielna przez 8. A więc wykazaliśmy, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest podzielna przez 8. Rozwiążmy ostatnie zadanie. Wykaż, że wartość poniższego wyrażenia nie zależy od wartości zmiennej x. Mamy nasze wyrażenie: 4 razy x odjąć 3 do kwadratu dodać 8 razy 3x odjąć 1 i odjąć 2x odjąć 3 razy 3 dodać 2x. Zastanówmy się jak możemy rozpisać nasze wyrażenie. Zauważ, że pierwszy nawias podniesiony do kwadratu to nic innego jak kwadrat różnicy. A więc możemy rozpisać to wyrażenie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Czyli a odjąć b do kwadratu równa się a do kwadratu odjąć 2ab i dodać b do kwadratu. W tym wypadku x będzie naszym a zaś 3 będzie b. Przejdźmy do drugiej części naszego wyrażenia. Mamy 8 razy 3x odjąć 1. Tutaj nie pozostaje nam nic innego jak tylko wymnożyć każdy wyraz z nawiasu razy 8. I odjąć. W ostatniej części naszego wyrażenia mamy 2x odjąć 3 i 3 dodać 2x. Pamiętaj, że dodawanie jest przemienne. Możemy dodać do 3 2x albo do 2x dodać 3. Jeśli zamienimy miejscami 3 i 2x w drugim nawiasie to na pewno zauważysz, że możemy tutaj skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. I w takim wypadku naszym wyrazem a będzie tutaj 2x, zaś wyrazem b będzie 3. Skoro mamy podpisane nasze wyrazy zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie a następnie sprawdź swój wynik z moim. A więc mamy 4 razy x do kwadratu odjąć 2 razy x i razy 3 i dodać 3 do kwadratu dodać, w drugiej części wyrażenia musimy tylko wymnożyć wyrazy w nawiasie razy 8 a więc 8 razy 3x da nam 24x i minus 1 razy 8 da nam minus 8. I odjąć trzecią część wyrażenia zwiniemy do postaci a do kwadratu odjąć b do kwadratu. A więc zapiszemy 2x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu. I to się równa 4 razy x do kwadratu odjąć 2 razy x i razy 3, czyli 6x i dodać 9. Dodać 24x i odjąć 8 odjąć 2x do kwadratu to 4x do kwadratu i odjąć 3 do kwadratu, czyli 9. To się równa. Wymnóżmy wyrazy w nawiasie, razy 4. 4 razy x do kwadratu, czyli 4x do kwadratu odjąć 6 razy 4, to 24 i razy x i dodać 4 razy 9, czyli 36. Dodać 24x i odjąć 8. I pozbądźmy się tego nawiasu. Otrzymamy tutaj minus 4x do kwadratu i dodać 9 bo minus razy minus daje nam plus. Zredukujmy wyrazy podobne. Mamy tutaj 4x do kwadratu i minus 4x do kwadratu. Możemy je zredukować. Dalej mamy minus 24x i 24x. Je też możemy zredukować. I zostanie nam 36 odjąć 8 i dodać 9. A to się równa 37. To znaczy, że całe to nasze początkowe wyrażenie równa się 37. A więc nie jest zależne od wartości zmiennej x. W ten sposób rozwiązaliśmy ostatnie zadanie. Jak widzisz, znajomość wzorów skróconego mnożenia bardzo nam ułatwia rozwiązywanie zadań dowodowych. Zapraszam Cię do obejrzenia wszystkich filmów z tej playlisty i do odwiedzenia naszej strony internetowej pi-stacja.tv