Z tego filmu dowiesz się:

  • co to znaczy, że ciąg jest rosnący, nierosnący, malejący, niemalejący, stały, monotoniczny i niemonotoniczny,
  • jak badać monotoniczność ciągu.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Spirala Fibonacciego zbudowana jest z ćwiartek okręgu w których promienie są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego. Promień tej ćwiartki to 1, tej też 1 tej 2, tej 3, tej 5, tej 8, a tej 13. Spirale Fibonacciego często występują w naturze. Taki kształt mają na przykład muszle łodzika pięknego surowiec na oryginalne puchary. Widzisz wzrosty pięciu osób. Te wartości tworzą ciąg liczbowy. W tym ustawieniu pierwsza osoba jest najniższa, a każda kolejna wyższa od poprzedniej. Ten ciąg nazywamy rosnącym. Skoro każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego, to w języku matematyki możemy to zapisać jako an plus 1 jest większe niż an. A co się stanie, gdy zapiszemy te wzrosty w odwrotnej kolejności? Teraz pierwsza osoba jest najwyższa a każda kolejna niższa od poprzedniej. Taki ciąg nazywamy ciągiem malejącym. A jaki ciąg otrzymamy ustawiając obok siebie 5 osób jednakowego wzrostu? W takiej sytuacji mówimy że ciąg jest stały. Skoro każdy kolejny wyraz jest taki sam jak poprzedni to taką zależność możemy zapisać jako an plus 1 równa się an. Spójrz teraz na taki ciąg. Pierwsza osoba ma 175 centymetrów wzrostu druga tyle samo i trzecia też. Czwarta ma już 177 centymetrów wzrostu piąta i szósta po 180 centymetrów. Wzrost siódmej to 182 centymetry. Czy w tym ciągu każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego? No nie! To nie jest zatem ciąg rosnący. Widzimy tutaj jednak tendencją wzrostową: 3 pierwsze wyrazy są takie same czwarty jest większy od poprzednich piąty jest większy od czwartego ale jest taki sam jak szósty siodmy jest większy od wszystkich poprzednich. Jeżeli ciąg nie jest rosnący ale tendencja jest wzrostowa to taki ciąg nazywamy niemalejącym. Ciąg niemalejący to taki, który czasami jest stały, a czasami rosnący. Możemy to zapisać w taki sposób: an plus 1 jest większe bądź równe an. Spójrz na jeszcze jeden ciąg. Pierwsza osoba ma 182 centymetry wzrostu i jest najwyższa. Druga i trzecia mają po 180 centymetrów wzrostu, wzrost czwartej i piątej to 176 centymetrów, a szóstej 174 centymetry. Czy to jest ciąg malejący? Ciąg malejący to taki ciąg w którym każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Widzimy, że tutaj tak nie jest. Zauważamy jednak tendencję spadkową. Taki ciąg nazywamy ciągiem nierosnącym. Ciąg nierosnący czasami maleje a czasami jest stały. Tę ogólność w języku matematyki możemy zapisać w taki sposób: an plus 1 jest mniejsze bądź równe an. Ciągi rosnące, malejące, stałe niemalejące i nierosnące nazywamy ciągami monotonicznymi. Weźmy jeszcze inny ciąg. Pierwsza osoba w nim ma 175 centymetrów wzrostu. Druga jest od wyższa od pierwszej. Trzecia z kolei jest niższa od pierwszej i drugiej, czwarta jest wyższa od trzeciej a piąta jestem niższa od czwartej. Czy ten ciąg jest monotoniczny? W tym ciągu wartości kolejnych wyrazów raz są większe, a raz mniejsze. Nie jest to ani ciąg rosnący, ani malejący ani też stały, ani niemalejący ani nierosnący. Taki ciąg nazywamy niemonotonicznym. Utrwalmy zdobytą do tej pory wiedzę takim ćwiczeniem: widzisz układ współrzędnych. Zaznaczono na nim wyrazy pewnego ciągu. Po lewej stronie zapisano poznane rodzaje ciągów. Wskaż wśród nich ten, który pokazano na wykresie. Na osi poziomej znajdują się numery wyrazów ciągu a na pionowej wartości tych wyrazów. Pierwszy punkt jest najniżej. Każdy kolejny punkt jest wyżej niż poprzedni. Oznacza to, że każdy kolejny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego. To jest ciąg rosnący. A jaki ciąg przedstawiono na tym wykresie? Pierwszy punkt jest najwyżej. Drugi jest niżej, a trzeci jest na tej samej wysokości, co drugi. Czwarty jest niżej niż wszystkie poprzednie. Piąty i szósty są na takiej samej wysokości, co punkt czwarty. Widzimy zatem, że ten ciąg czasami maleje, a czasami jest stały. To jest ciąg nierosnący. Spójrz teraz na kolejny wykres. Jaki to ciąg? Wszystkie punkty na wykresie są na tej samej wysokości co oznacza, że wszystkie wyrazy są takie same. Z osi pionowej możemy odczytać że ich wartość wynosi 4. Skoro wszystkie wyrazy są takie same to jest to ciąg stały. Przejdźmy do kolejnego wykresu. 2 pierwsze punkty są najniżej. Trzeci jest wyżej od poprzednich. Tak samo czwarty, piąty z kolei jest na tej samej wysokości, co czwarty. Szósty jest wyżej niż poprzednie. Widzimy, że czasami ciąg jest stały a czasami rośnie. To jest ciąg niemalejący. Spójrz na ostatni wykres. Pierwszy punkt jest najwyżej a drugi najniżej. Trzeci jest wyżej niż drugi a czwarty niżej niż trzeci. Cała reszta jest na tej samej wysokości. Punkty są jakby rozrzucone bez żadnej reguły. Taki ciąg jest niemonotoniczny. Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji. W kolejnej lekcji będziemy badali monotoniczności ciągów wykorzystując ich wzory ogólne. Ciągi rosnące, malejące, nierosnące niemalejące oraz stałe to ciągi monotoniczne. Ciągi, których nie możemy w ten sposób opisać to ciągi, które nie są monotoniczne. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do odwiedzenia naszej strony internetowej pistacja.tv. Tam znajdziesz wszystkie lekcje.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Krzysztof Chojecki, Agnieszka Opalińska

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

glucosala (CC0)
cocoparisienne (CC0)
Dicklyon (Domena publiczna)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg