Notacja wykładnicza - zadania tekstowe

Wyobraź sobie, że Słońce jest wielkości piłki do koszykówki. Jak myślisz, jak duża w takiej skali byłaby Ziemia i gdzie by się znajdowała? Miałaby ona wielkość zaledwie główki od szpilki i znajdowałaby się aż dwadzieścia osiem metrów od Słońca, czyli naszej piłki od koszykówki. Na świecie jest około pięciu razy dziesięć do piętnastej mrówek i pół miliona słoni. Przeciętna mrówka waży około jednej setnej grama, a przeciętny słoń około czterech ton. Czy wszystkie mrówki na świecie ważą więcej niż wszystkie słonie? Jak widzisz, w tym zadaniu musimy sprawdzić, czy wszystkie mrówki świata ważą więcej niż wszystkie słonie na Ziemi. Co musimy wiedzieć? Ile jest tych zwierząt oraz odpowiednio ile ważą. Czy znamy te informacje? Zobacz, są one podane w treści zadania. Wypiszmy je więc. Zacznijmy od liczby mrówek. Sprawdzamy. Pięć razy dziesięć do piętnastej. A ile jest słoni? Słoni jest około pół miliona. Przy porównywaniu dużych liczb warto korzystać z notacji wykładniczej. Jak zapisać tę liczbę w tej notacji? Pierwszą niezerową cyfrą jest piątka. Za piątką jest pięć kolejnych cyfr, czyli podnosimy dziesięć do potęgi piątej. Jeżeli nie pamiętasz, o co w ogóle chodziło w notacji wykładniczej, zachęcam cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Oprócz liczby zwierząt mamy też podane ich masy. Ile waży mrówka? Znajdźmy to w treści zadania. To jedna setna grama. Czy tę masę można zapisać w notacji wykładniczej? Tak. Dla małych liczb mniejszych od jedności dziesiątkę podnosimy do potęgi ujemnej. Pierwszą niezerową cyfrą jest jeden, czyli aby przecinek znalazł się za jedynką, musimy go przesunąć o dwa miejsca w prawo. Jeśli nie pamiętasz, jak się tworzy potęgi o wykładniku ujemnym, również zachęcam cię do zobaczenia odpowiedniego filmu. Musimy jeszcze znać masę jednego słonia. Z treści odczytujemy, że to cztery tony. No dobra, ale masa mrówki jest w gramach, a masa słonia w tonach. Żeby porównać te dwie wartości musimy je sprowadzić do wspólnej jednostki. Co będzie łatwiejsze? Zamiana gramów na tony, czy tony na gramy? Łatwiej będzie zamienić tony na gramy. Spróbujmy to zrobić razem. Tona to tysiąc kilogramów, więc cztery tony to cztery razy dziesięć do trzeciej kilogramów. Jeden kilogram to z kolei tysiąc gramów, czyli dziesięć do trzeciej. Ostatecznie cztery tony to cztery razy dziesięć do trzeciej razy dziesięć do trzeciej gramów, czyli cztery razy dziesięć do szóstej gramów. Tyle waży jeden słoń. Spróbujemy teraz policzyć, ile ważą wszystkie mrówki na świecie. Aby to wyznaczyć, należy pomnożyć liczbę mrówek przez masę jednej mrówki. Pięć razy dziesięć do piętnastej razy jeden razy dziesięć do minus drugiej gramów. Dziesięć do piętnastej razy dziesięć do minus drugiej to dziesięć do trzynastej, a pięć razy jeden to oczywiście pięć. Wszystkie mrówki na Ziemi ważą pięć razy dziesięć do trzynastej gramów. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie powiedzieć, ile ważą wszystkie słonie na Ziemi. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Należy pomnożyć ich liczbę przez masę jednego słonia, czyli pięć razy dziesięć do piątej razy cztery razy dziesięć do szóstej gramów. Pięć razy cztery to dwadzieścia. Dziesięć do piątej razy dziesięć do szóstej to dziesięć do jedenastej. Czy wynik jest zapisany w notacji wykładniczej? Nie, ponieważ przecinek powinien być tuż po dwójce. Trzeba to naprawić. Dwadzieścia razy dziesięć do jedenastej to dwa razy dziesięć do dwunastej gramów. Oto masa wszystkich słoni. Które zwierzęta ważą więcej? Wszystkie mrówki czy wszystkie słonie? Sprawdźmy wykładniki dziesiątki. Tutaj mamy dziesięć do trzynastej, a tutaj dziesięć do dwunastej. Ta liczba jest większa. W takim razie wszystkie mrówki na Ziemi ważą więcej niż wszystkie słonie. Dzięki temu, że obie wielkości były zapisane w notacji wykładniczej, to mogliśmy je łatwo porównać. Zadajmy jeszcze jedno pytanie: ile razy więcej ważą wszystkie mrówki od wszystkich słoni? Jak to policzyć? Należy podzielić masę wszystkich mrówek przez masę wszystkich słoni. Na początku zauważamy, że skraca nam się jednostka. Pięć przez dwa to pięć drugich, a dziesięć do trzynastej przez dziesięć do dwunastej zapisaliśmy w ten sposób. Pięć przez dwa to dwa i pół, natomiast przy dzieleniu potęg o tych samych podstawach odejmujemy wykładniki. Otrzymujemy, że to dwa i pół razy dziesięć do pierwszej, czyli dwa i pół razy dziesięć, czyli dwadzieścia pięć. Wszystkie mrówki na Ziemi ważą dwadzieścia pięć razy więcej od wszystkich słoni. A teraz kolejne zadanie. Największa znana gwiazda we Wszechświecie, UY Scuti, ma średnicę równą około dwa i cztery dziesiąte razy dziesięć do dziewiątej kilometrów. Średnica Słońca to w przybliżeniu milion trzysta dziewięćdziesiąt dwa tysiące kilometrów. Ile razy średnica UY Scuti jest większa od średnicy Słońca? Na samym początku musimy znać średnice tych dwóch gwiazd. Średnica UY Scuti jest podana w treści zadania. Zauważ, że jest ona od razu podana w notacji wykładniczej. A średnica Słońca? Również jest podana w treści zadania, ale jest zapisana zwykłej notacji. Aby uprościć późniejsze obliczenia, zapisz tę liczbę w notacji wykładniczej. Średnica Słońca to jeden i trzysta dziewięćdziesiąt dwie tysięczne razy dziesięć do szóstej kilometrów. Jak teraz policzyć, ile razy średnica największej gwiazdy we Wszechświecie jest większa od średnicy Słońca? Podstawiamy w odpowiednie miejsce liczby zapisane w notacji wykładniczej. Dwa i cztery dziesiąte przez jeden i trzysta dziewięćdziesiąt dwie tysięczne to w przybliżeniu jeden i siedemset dwadzieścia cztery tysięczne. Natomiast dziesięć do dziewiątej przez dziesięć do szóstej to dziesięć do trzeciej. Otrzymaliśmy, że średnica największej gwiazdy we Wszechświecie jest ponad tysiąc siedemset razy większa od średnicy Słońca. A teraz zastanówmy się. Mamy podaną powierzchnię Ameryki Północnej i powierzchnię Ameryki Południowej. Czy powierzchnia Azji jest większa od powierzchni obu Ameryk? O ile jest większa lub mniejsza? Zobacz: znowu będziemy porównywać bardzo duże liczby, w tym przypadku powierzchnie kontynentów. Co będziemy porównywać? Powierzchnię Azji i sumaryczną powierzchnię obu Ameryk. Spróbuj samodzielnie wypisać te powierzchnie z treści zadania. Oto powierzchnia Ameryki Północnej, to powierzchnia Ameryki Południowej, a to powierzchnia Azji. Jak mówiliśmy wcześniej, przy porównywaniu bardzo dużych liczb pomocna jest notacja wykładnicza. Po raz kolejny samodzielnie zapisz te liczby w notacji wykładniczej. Tutaj musieliśmy przesunąć przecinek o cztery miejsca w lewo, czyli mnożymy razy dziesięć do czwartej. Dziesięć do czwartej razy dziesięć do trzeciej to dziesięć do siódmej. Tutaj wystarczyło przesunąć przecinek o jedno miejsce w lewo, czyli razy dziesięć do pierwszej. Powierzchnia Ameryki Południowej to jeden i siedemset osiemdziesiąt cztery tysięczne razy dziesięć do siódmej kilometrów. Natomiast powierzchnia Azji zapisana w notacji wykładniczej wygląda następująco. Czy to koniec zadania? Możemy porównywać? Nie. Pamiętaj, że mamy porównać powierzchnię obu Ameryk. Trzeba zsumować te dwie liczby. Pytanie tylko, jak dodaje się liczby w notacji wykładniczej. Ale zauważ jedną rzecz. Zarówno ta liczba jak i ta zawiera w sobie dziesięć do siódmej. Ten czynnik możemy wyłączyć przed nawias. W ten sposób będziemy mogli zsumować te dwie liczby. Dodajemy liczby w nawiasie i otrzymujemy powierzchnię obu Ameryk. Co jest większe: Azja czy obie Ameryki? Obie te liczby mają taki sam wykładnik w dziesiątce, więc należy porównać liczbę przed dziesiątką. Ta liczba jest większa od tej liczby. W takim razie powierzchnia Azji jest większa od powierzchni obu Ameryk. O ile jest większa? Jak to policzyć? Pamiętaj, że tym razem jest pytanie, o ile jest większa, a nie ile razy. Tym razem nie będziemy dzielić powierzchni Azji przez powierzchnię obu Ameryk, tylko będziemy odejmować. Spróbuj to policzyć samodzielnie. Podpowiem, że znowu trzeba skorzystać z wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias. Po raz kolejny wspólnym czynnikiem jest dziesięć do siódmej. Wyłączamy przed nawias i dokonujemy obliczeń w nawiasie. Ostateczny wynik znajduje się tutaj. Azja jest większa o około dwa miliony kilometrów kwadratowych od Ameryki Północnej i Południowej razem wziętych. Na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej można wykonywać działania mnożenia, dzielenia oraz dodawania i odejmowania. Zobaczyłeś kolejny film z playlisty o notacji wykładniczej. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do polubienia naszego fanpage'a na Facebooku, Pi-stacja Matematyka.