Działania na potęgach o wykładniku ujemnym

Czasami, gdy obliczasz na kalkulatorze bardzo duże liczby, wyświetla się duża litera e. Wbrew pozorom nie oznacza ona błędu, czyli po angielsku error, ale jest symbolem notacji wykładniczej. e to inaczej dziesięć podniesione do pewnej potęgi. Przypomnijmy sobie, jak wykonywaliśmy niektóre działania na potęgach o wykładnikach naturalnych. Na samym początku mnożenie potęg o takich samych podstawach. Jak pamiętasz, ta liczba, w tym przypadku dwójka, jest podstawą potęgi. Natomiast te liczby są wykładnikami. Jak wykonać to mnożenie? Jeżeli mnożymy potęgi o takich samych podstawach ale różnych wykładnikach, to wynikiem będzie potęga o takiej samej podstawie, której wykładnik będzie sumą tych dwóch wykładników, czyli otrzymujemy dwa do potęgi trzy dodać dwa. To oczywiście daje dwa do potęgi piątej. Ile to wynosi? Dwa do piątej to oczywiście trzydzieści dwa. Sprawdzimy teraz, czy podobnie jest w przypadku potęg o wykładnikach ujemnych. Mamy obliczyć wartość wyrażenia dwa do minus trzeciej razy dwa do minus drugiej. Zauważ, że mnożymy dwie potęgi o takich samych podstawach, ale o różnych wykładnikach. Na razie policzymy wartość tego wyrażenia wprost, krok po kroku, korzystając z definicji potęgi o wykładniku ujemnym. Jeżeli nie pamiętasz albo jej nie znasz, zachęcam cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Jak inaczej zapisać dwa do potęgi minus trzeciej? Zgodnie z definicją dwa do potęgi minus trzeciej to inaczej jeden przez dwa do potęgi trzeciej. Mnożymy tę liczbę przez dwa do potęgi minus drugiej, czyli przez jeden przez dwa do potęgi drugiej. Dwa do potęgi trzeciej to osiem, czyli jeden przez dwa do potęgi trzeciej to jedna ósma. Dwa do kwadratu to cztery. Mnożymy dalej przez jedną czwartą. Jedna ósma razy jedna czwarta to oczywiście jedna trzydziesta druga. No dobrze. Wyznaczyliśmy wartość tego wyrażenia. Zauważ pewną ciekawą rzecz - trzydzieści dwa to inaczej dwa do potęgi piątej, czyli jedna trzydziesta druga. To inaczej jeden przez dwa do potęgi piątej. A jak możemy zapisać tę liczbę z wykorzystaniem potęgi o wykładniku ujemnym? Jeden przez dwa do piątej to dwa do potęgi minus piątej. Zauważ, że gdybyśmy postąpili tak samo jak z potęgami o wykładniku dodatnim, czyli po prostu dodali wykładniki, uzyskalibyśmy taki sam wynik: dwa do minus piątej. Okazuje się, że wszystkie prawa działań dla potęg o wykładniku naturalnym są również prawdziwe dla potęg o wykładniku ujemnym. Należy tutaj jedynie pamiętać o odpowiednim dodawaniu bądź odejmowaniu liczb ujemnych. Zaraz to przećwiczymy. Przypomnijmy teraz znane ci prawa działań na potęgach. Mnożenie potęg o takich samych podstawach omawialiśmy przed chwilą. Wystarczy jedynie dodać wykładniki. W przypadku dzielenia potęg o takich samych podstawach, należy odjąć od siebie wykładniki. Przy podniesieniu potęgi do jakiejś potęgi, należy pomnożyć wykładnik przez daną potęgę, do której podnosimy liczbę. Możemy też mieć przypadek, kiedy mamy różne podstawy, ale takie same wykładniki. Wtedy odpowiednio albo mnożymy podstawy, kiedy mnożymy potęgi, albo je dzielimy, kiedy dzielimy potęgi. Mamy tutaj przykład analogiczny do poprzedniego. Zatrzymaj film i spróbuj go rozwiązać samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Mnożymy dwie potęgi o takich samych podstawach ale różnych wykładnikach. Rozwiązaniem będzie potęga o takiej samej podstawie, w tym przypadku pięć, której wykładnik jest sumą tych dwóch wykładników. Pamiętaj, że jeden wykładnik jest ujemny, czyli musimy dodać liczbę ujemną. To inaczej pięć do potęgi pięć minus trzy, czyli pięć do potęgi drugiej, czyli dwadzieścia pięć. Świetnie! W kolejnym przykładzie dzielimy potęgi o takich samych podstawach. Również spróbuj to działanie wykonać samodzielnie. W tym przypadku musimy odjąć wykładniki, czyli otrzymujemy siedem do potęgi minus dwa ale odjąć minus trzy. To bardzo ważne, abyś tutaj się nie pomylił(a). To inaczej siedem do potęgi minus dwa dodać trzy. Minus i minus daje plus. Otrzymujemy ostatecznie siedem do potęgi pierwszej, czyli siedem. Super! A teraz korzystając ponownie ze ściągawki Spróbuj policzyć wartość tego wyrażenia. To inaczej dwa do potęgi dwa razy minus trzy, a dwa razy minus trzy to minus sześć. Ile to dwa do potęgi minus szóstej? To oczywiście jeden przez dwa do szóstej. No dobrze, a dwa do potęgi szóstej? To sześćdziesiąt cztery. Otrzymujemy, że wartość tego wyrażenia to jedna sześćdziesiąta czwarta. Okej. A ile to będzie dwa do minus drugiej razy trzy do minus drugiej? Zauważ, że teraz mamy różne podstawy ale te same wykładniki. Musimy w takim razie wymnożyć te dwie podstawy i podnieść je do tej samej potęgi, do jakiej każda z nich była podniesiona na początku, czyli do minus drugiej. Dwa razy trzy to oczywiście sześć. Otrzymujemy sześć do minus drugiej, czyli jeden przez sześć do kwadratu, czyli jedną trzydziestą szóstą. Spróbuj teraz analogicznie policzyć, ile to jest dziesięć do minus czwartej podzielić przez pięć do minus czwartej. Musimy podzielić podstawy. Dziesięć przez pięć do potęgi minus czwartej, czyli dwa do minus czwartej, czyli jeden przez dwa do czwartej, czyli jedna szesnasta. Teraz spróbujmy wyznaczyć wartość nieco bardziej zaawansowanego wyrażenia. Zauważ, że wszystkie potęgi mają taką samą podstawę, trójkę. Po pierwsze, trzy w liczniku zapiszę jako trzy do potęgi pierwszej. Od czego zaczniemy? Z kolejności wykonywania działań wynika, że od tego, co jest z nawiasach. W mianowniku w nawiasie mamy mnożenie. Trzy do drugiej razy trzy do czwartej to trzy do szóstej. Dodaję po prostu wykładniki. Wykonuję kolejne działania, teraz w liczniku w nawiasie. Wystarczy odjąć wykładniki, ponieważ mamy dzielenie, czyli trzy do potęgi minus dwa minus jeden, czyli trzy do minus trzeciej. W mianowniku również mamy dzielenie, czyli też trzeba odjąć wykładniki. Cztery odjąć sześć to minus dwa. Trzy do minus drugiej. Co teraz? Teraz pierwszeństwo ma potęgowanie. Trzy do potęgi minus trzeciej do potęgi minus pierwszej to trzy do trzeciej. Mnożymy po prostu minus trzy przez minus jeden. Wygląda już trochę lepiej. Spróbuj samodzielnie dokończyć rachunki. W liczniku mamy mnożenie, czyli sumujemy wykładniki. Minus sześć dodać trzy to minus trzy. Teraz dzielimy. Pamiętaj, że w dzieleniu mamy wykładniki ujemne, czyli mamy minus trzy odjąć minus dwa, czyli minus trzy plus dwa. …czyli trzy do potęgi minus pierwszej, czyli jedna trzecia. To teraz kolejny przykład. Trzydzieści sześć do minus piątej razy sześć do dziewiątej. Trudna sprawa... Zauważ, że nie mamy ani takich samych wykładników, ani takich samych podstaw. Ale zobacz, trzydzieści sześć i sześć mają coś ze sobą wspólnego. Trzydzieści sześć to przecież sześć do kwadratu. Możemy to wyrażenie zapisać więc w takiej postaci. Powinieneś już samodzielnie je rozwiązać. Spróbuj to zrobić. Sześć do kwadratu do minus piątej to inaczej sześć do minus dziesiątej. Gdy pomnożymy przez sześć do dziewiątej, otrzymamy sześć do minus pierwszej, czyli jedną szóstą. Jak widzisz, nie zawsze mamy podane wszystko na tacy i trzeba trochę kombinować. Zróbmy jeszcze jeden przykład. Pięć do ósmej razy jedna szesnasta do minus drugiej. Jedna szesnasta do minus drugiej to inaczej szesnaście do kwadratu. I znowu nie mamy ani takich samych podstaw, ani takich samych wykładników. Ale zobacz, szesnaście to inaczej dwa do potęgi czwartej, czyli to wyrażenie możemy zapisać w takiej postaci. Jesteś już w stanie policzyć to samodzielnie. Dwa do czwartej do kwadratu to inaczej dwa do potęgi ósmej. Pięć do ósmej razy dwa do ósmej to inaczej pięć razy dwa podniesione razem do potęgi ósmej, czyli dziesięć do ósmej, czyli jedynka i osiem zer. Albo, inaczej mówiąc, sto milionów. Dla potęg o wykładniku całkowitym obowiązują te same reguły wykonywania działań, co dla potęg o wykładniku naturalnym. Trzeba dodatkowo pamiętać o regułach wykonywania działań na liczbach ujemnych. Zobaczyłeś/aś właśnie kolejny film z playlisty o notacji wykładniczej. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube: PistacjaMatematyka.