Dowody matematyczne - wprowadzenie

Jednym z najsłynniejszych twierdzeń w matematyce jest Twierdzenie Pitagorasa. Istnieje około 200 dowodów tego twierdzenia. Ciekawostką jest, że udowodniono istnienie nieskończonej liczby dowodów tego twierdzenia. Dzięki tej lekcji dowiesz się, co to jest twierdzenie matematyczne i jego dowód. Damian pracuje w biurze detektywistycznym. Pewnego dnia z biurowej lodówki zniknął jego obiad. Puste opakowanie znalazło się w śmietniku. Damian twierdzi, że za tajemniczym zniknięciem posiłku stoi Krzyś, ponieważ nieraz zabrał przez pomyłkę jego obiad. Gdyby Damian był matematykiem, to zapewne sformułowałby to zdanie w nieco inny sposób. Posłuchaj, w jaki. Jeżeli zniknął mój obiad, to zabrał go Krzyś. To zdanie składa się z dwóch charakterystycznych części: pierwsza, zaczynająca się od „jeżeli” określa pewne zdarzenie, pewną sytuację, z której można wyciągnąć jakieś wnioski. W tym przypadku zdarzeniem jest zniknięcie obiadu. Ta cześć twierdzenia nazywa się założeniem. Druga, zaczynająca się od słowa „to” jest opisaniem konsekwencji wynikających z założenia. Skoro zniknął obiad, to zabrał go Krzyś. Zabranie obiadu przez Krzysia jest tą konsekwencją. Ta druga część twierdzenia, zaczynająca się zazwyczaj od słowa „to” nazywa się tezą. Teza to wniosek wynikający z założenia. Przeczytam raz jeszcze to twierdzenie. Jeżeli zniknął mój obiad, to zabrał go Krzyś. To zdanie mówi nam o tym, że za każdym razem, gdy zniknie obiad Damiana, winowajcą będzie Krzyś. Po chwili zastanowienia możemy wpaść na to, że przynajmniej raz ktoś inny mógłby zabrać posiłek, na przykład Nazar, Andrzej, Ania albo Gosia. Damian jest jednak detektywem. Wie, że musi zbadać, kto tym razem zabrał jedzenie. Czy masz jakiś pomysł, jak może to zrobić? Kluczem do rozwiązania zagadki jest opakowanie po posiłku, które znalazło się w śmietniku. Damian postanowił pobrać odciski palców z pudełka i porównać je z odciskami pracowników biura. Oprócz swoich znalazł też odcisk kciuka Krzysia. To potwierdziło prawdziwość twierdzenia Damiana. W tym przypadku twierdzenie Damiana, że jeżeli zniknął jego obiad, to zabrał go Krzyś, okazało się prawdziwe. A co by się stało, gdyby kolejnego dnia obiad Damiana znów zniknął, a pudełko znalazło się w śmietniku? Czy Damian bez badania odcisków mógłby stwierdzić, że winowajcą znów jest Krzyś? Jak myślisz? Niestety nie. Za każdym razem, gdy coś zniknie, trzeba przeprowadzić osobne dochodzenie. Z tego, że wczoraj Krzyś omyłkowo zabrał obiad Damiana nie wynika, że zabrał go również kolejnego dnia. Mógł pomylić się ktoś inny. W matematyce jest jednak inaczej. Gdy raz udowodnimy twierdzenie matematyczne, to już zawsze będzie ono prawdziwe. Spójrz na takie twierdzenie. Jeżeli liczba jest podzielna przez 4, to dzieli się też przez 2. Która część twierdzenia jest założeniem, a która tezą? Jak myślisz? Założenie to część zdania, która opisuje pewną sytuację. W tym przypadku to, że liczba dzieli się przez 4. Teza jest konsekwencją założenia. Jeżeli liczba dzieli się przez 4, to w konsekwencji dzieli się przez 2. Tezą jest zatem podzielność przez 2. Wyobraźmy sobie jakąś sytuację obrazującą to twierdzenie. Załóżmy, że mamy tyle owoców, że da się je włożyć do czterech koszy tak, że w każdym będzie tyle samo. 4 kosze da się podzielić między 2 osoby tak, aby każda miała tyle samo koszy. Łatwo to sobie wyobrazić, prawda? Oznacza to nic innego jak to, że liczba podzielna przez 4 zawsze dzieli się przez 2. To przykład dowodu intuicyjnego. Jeżeli raz udowodnimy, że liczba, która dzieli się przez 4 jest podzielna przez 2, to zawsze tak będzie. Bardzo ważne jest poprawne zidentyfikowanie, co jest założeniem, a co tezą. Zauważ, że gdybyśmy zamienili miejscami tezę i założenie, to otrzymalibyśmy takie twierdzenie: jeżeli liczba jest podzielna przez 2, to jest podzielna przez 4. Czy takie twierdzenie byłoby prawdziwe? No nie! Na przykład liczba 6 jest podzielna przez 2, ale nie jest podzielna przez 4. To jest kontrprzykład, czyli przykład, który obala twierdzenie. Korzystając z przykładu możemy wykazać, że twierdzenie nie jest prawdziwe, ale nie możemy tego udowodnić. To trzeba zrobić ogólnie dla wszystkich przykładów. W tym dziale zajmiemy się dowodzeniem twierdzeń geometrycznych. Spróbuj chociaż na chwilę zapomnieć o negatywnych emocjach, jakie kojarzą ci się z dowodami matematycznymi i obejrzyj nasze filmy. Z nimi dowodzenie twierdzeń stanie się przyjemniejsze i łatwiejsze. Zanim do tego przejdziemy, spróbuj się zastanowić, jakie znasz twierdzenia matematyczne. Zapisz je w komentarzu. Założę się, że większość oglądających wymieniła twierdzenie Pitagorasa. Mówi ono, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej. Co jest założeniem, a co tezą? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Pamiętaj, że założenie to opis pewnej sytuacji, z której wynika teza. Z tego, że trójkąt jest prostokątny wynika to, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej. W tej playliście nie znajdziesz jednak dowodu tego twierdzenia. Jeśli interesuje cię ten temat, poszukaj go na stronie pistacja.tv w sekcji Matematyka w Sporcie. Teraz zastanów się i powiedz, ile wynosi suma miar kątów w trójkącie. 180 stopni. Zawsze – w każdym trójkącie. Jak zatem możemy sformułować to twierdzenie? Masz jakiś pomysł? Ja zrobiłbym to tak: jeżeli dana figura jest trójkątem, to suma miar jej kątów wynosi 180 stopni. Czy pamiętasz, jak to udowodnić? Jeśli nie, obejrzyj lekcję pod tytułem „Suma miar kątów w trójkącie”. Podam ci jeszcze jedno twierdzenie związane z kątami. Jeżeli dana figura jest czworokątem, to suma miar jej kątów wynosi 360 stopni. Co jest założeniem, a co tezą? Założeniem jest ta część zdania, która mówi, że dana figura jest czworokątem. Tezą jest informacja, że suma miar jej kątów wynosi 360 stopni. Twierdzenia oraz definicje matematyczne są podstawą matematyki. Dowiadujemy się dzięki nim o własnościach wszystkich obiektów matematycznych. Jak już mówiłem, twierdzenie matematyczne raz udowodnione na zawsze zachowuje swoją prawdziwość. Twierdzenia są również jak klocki. Tak, jak z klocków możemy tworzyć coraz to bardziej skomplikowane budowle, tak korzystając ze znanych twierdzeń możemy udowadniać kolejne własności i zależności między różnymi obiektami matematycznymi. Jeśli zastanawiasz się, w jaki sposób, to pokażę ci przykład. Przed chwilą przypomniałem ci takie twierdzenie: jeżeli dana figura jest czworokątem, to suma miar jej kątów wynosi 360 stopni. Dowód tego twierdzenia opiera się na innym. Zobacz. Każdy czworokąt możemy podzielić przekątną na dwa trójkąty. Z twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie wiemy, że kąty w trójkącie sumują się do 180 stopni. Skoro w czworokącie mamy dwa trójkąty, których kąty dają w sumie kąty czworokąta, to mamy 2 razy 180 stopni, czyli 360 stopni. Oto przykład, jak jedno twierdzenie umożliwia udowodnienie kolejnego. W kolejnych lekcjach poznasz mniej standardowe twierdzenia. Pokażę ci krok po kroku, jak je udowadniać. Do dzieła! Z twierdzeń i definicji jest zbudowana matematyka. Wynikają z nich właściwości wszystkich obiektów matematycznych. Raz udowodnione twierdzenie na zawsze zachowuje swoją prawdziwość. Zapraszam cię do obejrzenia kolejnych lekcji o dowodach matematycznych. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi działami, zasubskrybuj nasz kanał.