Dowody matematyczne - rachunek kątów (część 2)

Dzieło Euklidesa o nazwie Elementy składało się z 13 ksiąg. Udowodnił tam wiele twierdzeń matematycznych głównie dotyczących geometrii. Elementy przetłumaczono na olbrzymią liczbę języków. Liczbą wydań ustępują jedynie Biblii. Tę lekcję zaczniemy od następującego zadania: Punkty A, B oraz D są współliniowe. Wyznacz miarę kąta CBD. Treść tego zadania dotyczy tej ilustracji. Mamy wyznaczyć miarę kąta CBD. Co robimy najpierw? Szukamy tego kąta. Tutaj mamy wierzchołek C, tu B a tu D. Kąt CBD znajduje się w tym miejscu. Mamy znaleźć miarę tego kąta. Jakie informacje możemy odczytać z rysunku? W tym miejscu znajduje się kąt który ma 65 stopni. Tutaj jest kąt, który ma 75 stopni. Zauważ, że te dwa kąty są kątami wewnętrznymi tego trójkąta. Znając miarę dwóch kątów wewnętrznych w trójkącie jesteśmy w stanie znaleźć miarę trzeciego kąta. Czy to pomoże nam w znalezieniu miary tego kąta? Oczywiście, że tak. Zobacz: w treści zadania mamy podane, że punkty A, B oraz D są współliniowe. Oznacza to, że te dwa kąty mają wspólne ramię, a pozostałe ramiona tworzą prostą. Mamy tutaj zatem kąty przyległe. Znając miarę tego kąta Będziemy w stanie obliczyć miarę tego kąta. Zatrzymaj lekcję i spróbuj zrobić to samodzielnie. Ten kąt możemy nazwać CBA. Miara kąta CBA to 180 stopni odjąć 75 stopni odjąć 65 stopni a to daje nam 40 stopni. Miara kąta CBA to 40 stopni. Jak zatem wyznaczyć miarę kąta CBD? Wiemy, że te dwa kąty to kąty przyległe. Wystarczy zatem od 180 stopni odjąć miarę kąta CBA która wynosi 40 stopni. 180 stopni odjąć 40 stopni to 140 stopni. Wykonaliśmy nasze zadanie. Gratulacje! Ale to jeszcze nie wszystko. Schowam nasze obliczenia i zmienię informacje, które były podane na ilustracji. Teraz kąty wewnętrzne w tym trójkącie wynoszą odpowiednio alfa oraz beta. Treść zadania się nie zmieniła. Punkty A, B oraz D są współliniowe. Wyznacz miarę kąta CBD. Zastanów się teraz, czy zmieni się sposób rozwiązywania tego zadania. Wiemy, że miara tego kąta to alfa a miara tego kąta to beta. Potrafimy zatem wyznaczyć miarę kąta CBA. Miara kąta CBA wynosi przecież 180 stopni odjąć alfa odjąć beta. Skoro znamy miarę tego kąta czy jesteśmy w stanie wyznaczyć miarę tego kąta? Oczywiście, że tak. Miara kąta CBD to 180 stopni odjąć miara kąta CBA. Znamy przecież miarę kąta CBA. Wynosi 180 stopni odjąć alfa odjąć beta. Otrzymujemy zatem 180 stopni odjąć w nawiasie 180 stopni odjąć alfa odjąć beta. Skoro przed nawiasem mamy minus to opuszczając nawias zmienimy znaki wszystkich elementów w tym nawiasie. Otrzymujemy 180 stopni odjąć 180 stopni dodać alfa dodać beta, a to jest przecież alfa dodać beta. Zobacz: wyznaczyliśmy miarę tego kąta. Jest równa sumie miar tych dwóch kątów, czyli alfa dodać beta. Zapiszmy to. Tego kąta to alfa dodać beta. To jeszcze nie koniec. Jak zatem podeszlibyśmy do takiego zadania: Punkty A, B oraz D są współliniowe. Udowodnij, że miara kąta CBD to alfa dodać beta. Zwróć uwagę, że teraz wiemy że miara kąta CBD to alfa dodać beta. Mamy to tylko udowodnić. Czym różni się to zadanie od zadania które rozwiązywaliśmy poprzednio? Praktycznie niczym. Zobacz: tutaj mamy wszystkie obliczenia. Rozwiązując zadanie dowodowe musimy te obliczenia tylko odpowiednio opisać. Najpierw obliczyliśmy miarę kąta CBA odejmując od 180 stopni kąty alfa oraz beta. Wykorzystaliśmy fakt, że te kąty znajdują się w trójkącie, a znamy przecież sumę kątów w trójkącie ABC. Następnie wyznaczyliśmy miarę kąta CBD w taki sposób, że od 180 stopni odjęliśmy miarę kąta CBA. Skorzystaliśmy z faktu, że te dwa kąty to kąty przyległe. W trzecim kroku w miejsce miary kąta CBA Wstawiliśmy 180 stopni odjąć alfa odjąć beta i to znajduje się w tym miejscu. Zauważ, że tutaj mamy dokładnie takie same obliczenia, jak w tym miejscu. Dodaliśmy tylko fakt, że skorzystaliśmy z punktów pierwszego oraz drugiego. Udowodniliśmy, że miara kąta CBD to alfa dodać beta. Czego jeszcze brakuje? Symbolu, który mówi że dowód jest skończony. Rysujemy zatem kwadrat. Mam nadzieję, że zaczynasz czuć że dowody matematyczne nie są wcale takie trudne. Przejdźmy zatem do kolejnego ćwiczenia. Dany jest ostrokątny trójkąt równoramienny ABC, w którym długość boku AC jest taka sama, jak długość boku BC. W tym trójkącie poprowadzono wysokość AD. Udowodnij, że kąt ACB jest dwa razy większy od kąta BAD. Od czego powinniśmy zacząć? Zauważ, że w treści zadania jest mowa o ostrokątnym trójkącie równoramiennym w którym poprowadzono wysokość. Należy zatem zrobić rysunek. Zatrzymaj lekcję i spróbuj zrobić to samodzielnie. Następnie sprawdź, czy twój rysunek będzie taki sam, jak mój. Najpierw rysujemy ostrokątny trójkąt ABC. W tym trójkącie długość boku AC jest taka sama, jak długość boku BC. W tym trójkącie poprowadzono wysokość AD. Z którego wierzchołka wychodzi ta wysokość? Z wierzchołka A. Do którego boku będzie zatem prostopadła? Do boku CB. Ten odcinek jest wysokością AD. Wysokość jest zawsze prostopadła do boku, na który pada. Rysunek gotowy. No to co mamy udowodnić? Mamy udowodnić, że kąt ACB jest dwa razy większy od kąta BAD. Gdzie znajduje się kąt ACB? Tutaj jest wierzchołek A tutaj jest wierzchołek C a tutaj jest wierzchołek B. To jest kąt ACB. Gdzie jest kąt BAD? Kąt BAD znajduje się w tym miejscu. Mamy zatem udowodnić, że ten kąt jest dwa razy większy niż ten kąt. Zauważ, że w treści zadania nie podano miary żadnego kąta. To oznacza, że mamy udowodnić że w każdym ostrokątnym trójkącie równoramiennym, w którym poprowadzi się taką wysokość ten kąt, który jest między ramionami jest dwa razy większy od kąta, który znajduje się między wysokością a podstawą tego trójkąta. Jeszcze raz przypomnę, że mamy udowodnić że ten kąt jest dwa razy większy od tego kąta. Czy byłoby nam łatwiej, gdybyśmy znali miarę tego kąta? Oczywiście, że tak. Możemy zatem odrobinę sobie pomóc szacując miarę tego kąta. To jest kąt ostry, który ma na moje oko 20 stopni. Spróbujmy najpierw pokazać że w tym konkretnym przypadku ten kąt jest dwa razy większy od tego kąta. Zauważ, że tutaj mamy do czynienia z trójkątem ABD. Tutaj mamy 20 stopni a tutaj mamy 90 stopni. A jaką miarę ma ten kąt? Spróbuj obliczyć samodzielnie. 180 stopni odjąć 90 stopni odjąć 20 stopni to 70 stopni. Zauważ, że ten kąt jest jednocześnie kątem, który występuje w trójkącie ABC między ramieniem a podstawą. Co wiemy o trójkącie ABC? To jest trójkąt równoramienny. To oznacza, że w tym miejscu również mamy kąt, który ma 70 stopni. Zobacz: znamy miarę dwóch kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Czy potrafimy teraz obliczyć miarę tego kąta? 180 stopni odjąć 70 stopni odjąć 70 stopni to 40 stopni. Co to oznacza? Ten kąt jest dwa razy większy od tego kąta. Pamiętaj, że obliczenia na jednym konkretnym przypadku, czyli tutaj takim, że ten kąt ma 20 stopni nie są dowodem. My mamy udowodnić, że niezależnie od tego, jaki kąt będzie w tym miejscu to ten kąt będzie dwa razy większy od tego kąta. Zmażę teraz miary wszystkich kątów które mamy na tym rysunku. W sytuacji, gdy mamy coś udowodnić nie znając żadnych miar korzystamy ze zmiennych. Oznaczamy zatem miarę tego kąta grecką literą alfa. Zapisujemy zatem: niech kąt DAB równa się alfa. Udowadniając, że ten kąt jest dwa razy większy niż kąt alfa będziemy postępowali dokładnie w taki sam sposób jak wtedy gdy założyliśmy, że ten kąt ma 20 stopni. Teraz ten kąt ma miarę alfa. Skoro ten kąt ma miarę alfa ten kąt ma 90 stopni to jaką miarę ma ten kąt? Te trzy kąty znajdują się wewnątrz trójkąta ABD. Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. Miara tego kąta wynosi zatem 180 stopni odjąć 90 stopni odjąć alfa. To zapisujemy tutaj w kroku pierwszym. Miara kąta ABD to 180 stopni odjąć 90 stopni odjąć alfa. 180 stopni odjąć 90 stopni to 90 stopni. Miara tego kąta to 90 stopni odjąć alfa. Skorzystaliśmy z tego, że znamy sumę miar kątów w trójkącie ABD która wynosi 180 stopni. Zapiszę jeszcze na ilustracji że miara tego kąta to 90 stopni odjąć alfa. Skoro mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym a ten kąt jest kątem między ramieniem a podstawą i ma 90 stopni odjąć alfa drugi kąt między ramieniem i podstawą ma również 90 stopni odjąć alfa. Kąt BAC jest zatem taki sam jak kąt ABD, czyli ma 90 stopni odjąć alfa. Zapiszę to jeszcze na rysunku. Ten kąt ma również miarę równą 90 stopni odjąć alfa. Przeprowadzając dowód, przy każdym kroku zapisujemy, dlaczego wykonaliśmy takie obliczenia, a nie inne. W tym przypadku ten kąt jest taki sam, jak ten kąt ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny a miarę kąta ABD obliczyliśmy w punkcie pierwszym. Skoro wiemy, jakie miary mają te dwa kąty jesteśmy w stanie obliczyć miarę tego kąta ponieważ te trzy kąty są kątami wewnętrznymi trójkąta ABC. Miara kąta ACB, czyli tego kąta to 180 stopni odjąć suma miar kątów ABD oraz BAC, czyli tych dwóch kątów. Korzystamy znowu z tego, że wiemy ile wynosi suma kątów w trójkącie ABC. Wynosi ona 180 stopni jak w każdym trójkącie. Skoro te dwa kąty mają taką samą miarę która wynosi 90 stopni odjąć alfa to miara kąta ACB wynosi 180 stopni odjąć dwa razy 90 stopni minus alfa. 90 stopni minus alfa znajduje się w nawiasie. Minus 2 razy 90 stopni to minus 180 stopni a minus 2 razy minus alfa to plus 2 alfa. 180 stopni odjąć 180 stopni to 0 więc otrzymujemy 2 alfa. Do obliczeń w tym kroku skorzystaliśmy z punktów drugiego oraz trzeciego. Zapiszę to jeszcze na rysunku. Miara kąta ACB, czyli tego kąta wynosi 2 alfa. Skoro miara tego kąta to alfa a miara tego kąta to 2 alfa, pokazaliśmy że miara kąta ACB jest 2 razy większa niż miara kąta DAB. Do obliczeń skorzystaliśmy z punktu 4. Dokładnie to mieliśmy udowodnić. Nasz dowód jest zakończony więc na końcu rysujemy kwadracik. Jeżeli nie mamy pomysłu na rozwiązanie zadania dowodowego, możemy spróbować przerobić je na zadanie rachunkowe. Ono często jest dużo prostsze. Nie wolno zapomnieć o tym że przykład to nie dowód! Trzeba go potem przerobić na dowód ale wtedy już wiemy, co robić. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu oraz do zasubskrybowania naszego kanału.