Z tego filmu dowiesz się:

  • jak udowodnić, że dwie figury są przystające.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Nagroda Abela jest przyznawana w dziedzinie matematyki przez króla Norwegii. Jej laureat w 2018 roku otrzymał około 750 000 euro. Nie istnieje ograniczenie wiekowe dla laureatów tej nagrody. Tę lekcję zaczniemy od takiego zadania. Narysuj prostokąt i oznacz go ABCD. Na zewnątrz tego prostokąta, na jego bokach BC i CD zbuduj dwa trójkąty równoboczne: BCE i CDF. Udowodnij, że długość odcinka AE jest taka sama jak długość odcinka AF. Sięgnij teraz po długopis albo ołówek i kartkę, najlepiej w kratkę. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zrobić rysunek do tego zadania. Następnie sprawdź, czy twój rysunek jest taki sam jak mój. Później razem udowodnimy, że długość odcinka AE jest taka sama jak długość odcinka AF. Zaczynamy oczywiście od narysowania prostokąta ABCD. Na bokach BC i CD mamy narysować dwa trójkąty równoboczne: BCE i CDF. Na boku BC rysujemy zatem trójkąt równoboczny BCE. Na boku CD rysujemy z kolei trójkąt równoboczny CDF. Co mamy udowodnić? Mamy udowodnić, że długość odcinka łączącego punkty AE jest taka sama jak długość odcinka łączącego punkty AF. Narysujmy te odcinki. To jest odcinek AE. To z kolei jest odcinek AF. Mamy udowodnić, że te dwa odcinki mają taką samą długość. Jak to zrobić? Czy masz jakiś pomysł? Zwróć uwagę, że po narysowaniu tych dwóch odcinków powstały nam dwa trójkąty: trójkąt ADF oraz trójkąt ABE. Gdybyśmy udowodnili, że te dwa trójkąty są identyczne, czyli przystające, to moglibyśmy wyciągnąć taki wniosek, że te dwa odcinki mają identyczną długość. Spróbujmy zatem pokazać, że te dwa trójkąty są identyczne. Od czego zaczniemy? Wiemy, że figura ABCD jest prostokątem. Które boki zatem są identyczne? Te, które są naprzeciw siebie. Odcinek AD jest taki sam jak odcinek BC oraz odcinek AB jest taki sam jak odcinek DC. Skupmy się na razie na odcinku AD. Zauważ, że odcinek AD jest jednym z boków trójkąta ADF. Czy w trójkącie ABE znajdziemy jakiś odcinek, który ma taką samą długość jak odcinek AD? Wiemy, że odcinek BC ma taką samą długość jak odcinek AD. Wiemy też jednak z treści zadania, że na odcinku BC zbudowano trójkąt równoboczny. To oznacza, że odcinki BE oraz EC mają taką samą długość jak te dwa odcinki. Widzimy też, że odcinek BE jest jednym z boków tego trójkąta. Podsumuję zatem, że odcinek BE ma taką samą długość jak odcinek BC, bo to są boki trójkąta równobocznego i ma taką samą długość jak odcinek AB, ponieważ te dwa boki są przeciwległymi bokami prostokąta. Zapiszmy teraz wnioski, które zebraliśmy do tej pory w odpowiedniej kolejności. Najpierw uzasadniliśmy, że odcinki AD oraz BC mają taką samą długość, bo są to przeciwległe boki czworokąta ABCD, który jest prostokątem. Następnie uzasadniliśmy, że odcinki BC oraz BE mają taką samą długość, ponieważ są to boki trójkąta BCE, który jest równoboczny. Skoro długość odcinka AD jest taka sama jak długość odcinka BC, a długość odcinka BC jest taka sama jak długość odcinka BE to stąd wynika, że długość odcinka AD jest taka sama jak długość odcinka BE. Na rysunku to są te dwa odcinki. Jak dotąd udało nam się dowiedzieć, że te dwa trójkąty mają przynajmniej jedną parę boków identycznej długości. To są boki AD oraz BE. Zwróć teraz uwagę, że odcinek AB ma taką samą długość jak odcinek DC. Na odcinku DC również zbudowano trójkąt równoboczny. Wszystkie boki mają zatem taką samą długość jak odcinek DC. Skupmy się jednak wyłącznie na odcinku DF. Dlaczego akurat na tym odcinku? Zauważ, że odcinek DF jest jednocześnie jednym z boków tego trójkąta. Skoro długość odcinka DF jest taka sama jak długość odcinka CD, a długość odcinka CD jest taka sama jak długość odcinka AB, to z tego wynika, że długość odcinka DF jest taka sama jak długość odcinka AB. Skoro mamy coś udowodnić to musimy zapisać nasze rozważania, tak jak w tym przypadku. Zatrzymaj lekcję i spróbuj to zrobić samodzielnie. Najpierw uzasadniliśmy, że długość odcinka DC jest taka sama jak długość odcinka AB, ponieważ są to przeciwległe boki czworokąta ABCD, który jest prostokątem. Tutaj mamy odcinek DC, a tutaj mamy odcinek AB. Następnie pokazaliśmy, że długość odcinka DF jest taka sama jak długość odcinka DC, ponieważ te odcinki są bokami trójkąta DCF, który jest trójkątem równobocznym. Tutaj mamy odcinek DF, a tutaj mamy odcinek DC. Skoro odcinek DC ma taką samą długość jak odcinek AB i odcinek DF ma taką samą długość jak odcinek DC, to długość odcinka AB jest taka sama jak długość odcinka DF. Zobacz: wiemy, że ten trójkąt ma dwa boki, które mają identyczne długości jak odpowiednie boki w tym trójkącie. Czego nam brakuje aby pokazać, że to są dwa trójkąty przystające? Wystarczy pokazać, że kąty, które znajdują się między bokami zielonym a pomarańczowym mają identyczne miary. Czy masz jakiś pomysł, jak to zrobić? Spróbuj udowodnić to samodzielnie. Zwróć uwagę, że ten kąt, który znajduje się w tym miejscu jest kątem wewnętrznym prostokąta, czyli jest kątem prostym. Tak samo ten kąt, który znajduje się w tym miejscu. A co możemy powiedzieć o tym kącie? Ten kąt jest kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego. Ma zatem 60 stopni. A ten kąt, ile ma stopni? Ten kąt jest również kątem wewnętrznym trójkąta równobocznego, więc ma 60 stopni. Miara kąta FDA, czyli kąta, który zaznaczyłem tutaj to 60 stopni dodać 90 stopni, czyli 150 stopni. Miara kąta ABE czyli kąta, który zaznaczyłem w tym miejscu to również 60 stopni dodać 90 stopni czyli 150 stopni. Stąd wynika, że kąty FDA oraz ABE są identyczne. Podsumujmy zebrane informacje. W tych dwóch trójkątach znajdziemy kąt, którego miara to 150 stopni. Boki trójkątów, które znajdują się przy tych kątach mają identyczne długości. Co z tego wynika? Wynika z tego, że punkty 1, 2 i 3 tworzą cechę przystawania trójkątów bok-kąt-bok, czyli trójkąty FDA i ABE są przystające. Skoro są przystające to znaczy, że są identyczne więc boki, które są naprzeciw kąta rozwartego mają taką samą długość. To oznacza, że długość odcinka AF jest taka sama jak długość odcinka AE. To wynika z punktu czwartego, bo tutaj mamy zapisane, że te dwa trójkąty są przystające. Widzisz, że mamy tutaj dokładnie to, co chcieliśmy udowodnić. Nasz dowód jest zakończony. Na końcu rysujemy zatem kwadracik. Gratulacje! Teraz przyszedł czas na małe podsumowanie. Wydaje mi się, że możesz już samodzielnie próbować rozwiązywać zadania na dowodzenie. Na koniec mam dla ciebie wyzwanie. Tutaj masz zadanie bardzo podobne do tego, które zostało przed chwilą rozwiązane. Jego treść brzmi następująco: spójrz na równoległobok ABCD. Na jego bokach BC i CD zbudowano dwa kwadraty: EFCB oraz DCGH. Wiedząc, że kąt DAB jest ostry udowodnij, że długość odcinka AH jest taka sama jak długość odcinka AE. Spróbuj udowodnić to samodzielnie. Jeśli będziesz mieć z tym problem, wróć do rozwiązania zadania z filmu i przeanalizuj je ponownie. Powinno pomóc. Na końcu filmu znajduje się rozwiązanie tego zadania do porównania z tym, co udało ci się zrobić. Nawet jeśli nie uda ci się wykonać tego zadania, to jeżeli obejrzysz rozwiązanie dopiero po tym, jak poświęcisz na próby trochę czasu, to się dużo z tego ćwiczenia nauczysz. Oto obiecane rozwiązanie zadania. Postaraj się teraz je samodzielnie przeanalizować i porównać z tym, co ci się udało wymyślić. Zapraszam cię do obejrzenia kolejnych lekcji o dowodach matematycznych. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi działami, to zasubskrybuj nasz kanał.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki, Agnieszka Opalińska, Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Agnieszka Opalińska, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Profesor Robert Langlands (CC BY-SA 3.0)
Torgrim111 (CC BY-SA 3.0)
Abel Prize (Fair Use)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg