Długość i środek odcinka w układzie współrzędnych

Współczesne telefony komórkowe wspierają już kilka systemów nawigacji satelitarnej. Nie tylko amerykański GPS ale też rosyjski GLONASS. Przez błędy pomiaru każdy z tych systemów wskazuje jednak nieco inną lokalizację obiektu, na przykład Twojej komórki. Aby określić pozycję jak najdokładniej komórka oblicza współrzędne środka odcinka łączącego te punkty. W tej lekcji pokażę Ci, jak to się robi. Widzisz układ współrzędnych. Zaznaczmy na nim punkt, na przykład tutaj. Oznaczmy go literą A. Jakie współrzędne ma ten punkt? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Ten punkt ma współrzędne 1 i 3. Pierwsza współrzędna odpowiada krokom na osi x. Oznaczmy ją więc x z indeksem dolnym A. Druga odpowiada krokom na osi y. Oznaczmy ją literą y z indeksem dolnym A. Teraz narysujmy w tym układzie drugi punkt w taki sposób, aby był na tej samej linii poziomej co punkt A. Oznaczmy go literą B. Jakie współrzędne ma ten punkt? Współrzędne punktu B to 7 i 3. Pierwszą współrzędną oznaczmy literą x z indeksem dolnym B a drugą literą y z indeksem dolnym B. Oba punkty mają współrzędną y równą trzem. Co otrzymamy łącząc oba punkty? Odcinek. Jaka jest jego długość? Współrzędna x punktu A to 1. Ile kroków w prawo należy zrobić aby dojść do współrzędnej x punktu B która wynosi 7? 6. Moglibyśmy tę długość obliczyć również odejmując od pierwszej współrzędnej punktu B, pierwszą współrzędną punktu A. 7 odjąć 1 to 6. Długość odcinka AB wynosi zatem 6. Jak możemy wykorzystać tę informację do znalezienia współrzędnych jego środka który oznaczyliśmy wielką literą Ś? Środek odcinka dzieli go na dwie jednakowe części. Skoro długość tego odcinka to 6 to połowa będzie miała długość 3. Robiąc 3 kroki w prawo z punktu A dojdziemy do miejsca, którego pierwsza współrzędna będzie wynosiła 1 plus 3 czyli 4. A jaka będzie druga współrzędna? Taka sama, jak druga współrzędna punktu A czyli 3, bo oba są na tej samej wysokości. Zauważ, że robiąc 3 kroki w lewo z punktu B, doszlibyśmy do tego samego miejsca. Pokażę Ci teraz uniwersalny sposób na obliczanie środka dowolnego odcinka korzystając z jego współrzędnych. Spróbujmy najpierw wyrazić połowę długości odcinka AB w postaci ułamka. Jeśli od liczby 7 odejmiemy 1 to otrzymamy długość całego odcinka. Dzieląc ją przez 2 otrzymamy długość połowy. Aby otrzymać pierwszą współrzędną środka odcinka AB, wystarczy dodać do tego pierwszą współrzędną punktu A. Skoro chcemy jednak znaleźć uniwersalny sposób wyznaczania środka odcinka to zamiast liczb oznaczających współrzędne jego końców, musimy mieć symbole. Liczba 7 to pierwsza współrzędna punktu B. Zamieniamy ją na x z indeksem dolnym B. Od tego odejmowaliśmy pierwszą współrzędną punktu A czyli x z indeksem dolnym A. Tę różnicę dzieliliśmy przez 2. Do tego dodawaliśmy pierwszą współrzędną punktu A, czyli x z indeksem dolnym A. To, co otrzymaliśmy, to w pełni poprawny i działający wzór. Jest on jednak często zapisany w innej postaci. Teraz pokażę Ci, jak otrzymać z tego co mamy, tę drugą wersję. Spróbujmy uprościć to wyrażenie. Aby do tego ułamka dodać x z indeksem dolnym A, należy zamienić ten składnik na ułamek o mianowniku 2. Otrzymamy 2xA przez 2. Teraz dodajemy do siebie liczniki. Otrzymujemy xB odjąć xA dodać 2xA podzielić przez 2. –xA dodać 2xA to xA. Mamy zatem xB dodać xA przez 2. To jest wzór na pierwszą współrzędną środka dowolnego odcinka w układzie współrzędnych. Sprawdźmy, czy działa! Dodając do liczby 7 liczbę 1 i dzieląc to przez 2 otrzymujemy 4, czyli się zgadza. Popatrzmy raz jeszcze na ten wzór. Czy domyślasz się, jak będzie wyglądał wzór na drugą współrzędną środka odcinka? Pierwszą współrzędną środka obliczaliśmy dodając do siebie pierwsze współrzędne końców oraz dzieląc tę sumę przez 2. Drugą współrzędną środka obliczymy dodając do siebie drugie współrzędne końców odcinka i dzieląc tę sumę przez 2. Zapiszemy to w taki sposób: yB dodać yA podzielić przez 2 równa się yŚ czyli współrzędna y środka. Sprawdźmy, czy ten wzór zadziała. Współrzędna y punktu B to 3. Współrzędna y punktu A to też 3. 3 dodać 3 podzielić przez 2 to 3. Widzisz, że ten wzór działa! Podsumujmy: jeśli współrzędne końców dowolnego odcinka to A: xA i yA, oraz B: xB i yB to środek odcinka, oznaczony literą Ś będzie miał współrzędne xŚ i yŚ. Współrzędną xŚ obliczamy korzystając z pierwszych współrzędnych odcinka AB dodając je do siebie i dzieląc przez 2. Współrzędną yŚ możemy obliczyć korzystając z drugich współrzędnych odcinka AB, dodając je do siebie i dzieląc przez 2. Zauważ, że to po prostu średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych. Przejdźmy do kolejnego przykładu i przećwiczmy stosowanie tego wzoru. Spróbuj samodzielnie obliczyć współrzędne środka odcinka AB oznaczonego literą Ś korzystając z poznanego wzoru. Znajdziesz go w tym miejscu. Aby obliczyć pierwszą współrzędną środka odcinka AB, dodajemy do siebie pierwsze współrzędne punktów AB i tę sumę dzielimy przez 2. Otrzymujemy 2 dodać 2 podzielić przez 2. Do obliczenia drugiej współrzędnej korzystamy z drugich współrzędnych punktów A i B. Otrzymujemy 2 dodać 6 podzielić przez 2. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy współrzędne punktu Ś, czyli 2 i 4. Ile kroków do góry należy zrobić od liczby 2, aby dojść do szóstki? 4 kroki. Długość tego odcinka to 4. Połowa tej długości to 2. Robiąc 2 kroki do góry od liczby 2 dojdziemy do liczby 4. Pierwsza współrzędna środka jest taka sama jak pierwsze współrzędne końców bo idziemy tylko do góry. Robiąc 2 kroki do góry z tego miejsca dojdziemy do drugiego końca odcinka czyli do punktu B. Widzisz zatem, że punkt o współrzędnych 2 i 4 to środek odcinka AB. Wszystko się zgadza. Przejdźmy do kolejnego przykładu. Tym razem mamy do czynienia z odcinkiem AB którego końce mają odpowiednio współrzędne –2 i –2 oraz 8 i 4. Spróbuj samodzielnie obliczyć współrzędne jego środka korzystając z poznanego wzoru. Pierwsza współrzędna to suma pierwszych współrzędnych końców odcinka podzielona przez 2. Otrzymujemy 8 dodać –2 podzielić przez 2. Druga współrzędna to suma drugich współrzędnych końców odcinka podzielona przez 2. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy że współrzędne środka odcinka to 3 i 1. Przejdźmy do ostatniego przykładu. Oblicz współrzędne środka odcinka AB którego końce mają współrzędne 4 i –3 oraz –2 i 3. Oznaczmy środek literą Ś. Pierwsza współrzędna to suma pierwszych współrzędnych końców odcinka podzielona przez 2. Otrzymujemy –2 dodać 4 podzielić przez 2. Druga współrzędna to suma drugich współrzędnych końców odcinka podzielona przez 2. Otrzymujemy 3 dodać –3 podzielić przez 2. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy że współrzędne środka naszego odcinka to 1 i 0. Wykonaliśmy wszystkie zadania! Gratulacje! Współrzędne środka odcinka możemy obliczyć korzystając z gotowego wzoru. x-owa współrzędna środka to średnia arytmetyczna x-owych współrzędnych końców odcinka. A współrzędna y środka to średnia arytmetyczna współrzędnych y końców odcinka. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji o układzie współrzędnych oraz do zasubskrybowania naszego kanału aby być na bieżąco!