Niektóre zwierzęta określają położenie przeszkód lub poszukują pożywienia korzystając z echolokacji. Na tej podstawie orientują się w położeniu. Takimi zwierzętami są na przykład delfiny oraz większość nietoperzy. Gdy poruszają się w linii prostej to współrzędne ich położenia są punktami współliniowymi. Za chwilę dowiesz się jak wyznaczać punkty współliniowe w kartezjańskim układzie współrzędnych. Widzisz układ współrzędnych. Zaznaczono na nim pewien punkt. Zastanów się teraz, ile istnieje prostych które przez niego przechodzą. To jedna prosta. To druga. To trzecia. To czwarta. A to piąta. Mógłbym narysować więcej takich prostych? Pewnie, że mógłbym. I to nieskończenie wiele. Właśnie tyle prostych przechodzi przez 1 konkretny punkt. A co by było, gdybym miał w tym układzie zaznaczone 2 punkty? Ile istnieje prostych które przechodzą przez 2 konkretne punkty? Tylko jedna. Nie da się narysować innej prostej która przechodzi przez te 2 punkty. Punkty, które leżą na jednej prostej nazywają się punktami współliniowymi. To są punkty współliniowe. Zaznaczmy w tym układzie punkt D. Ten punkt nie jest współliniowy z punktami A i B, bo nie leży na tej samej prostej. A czy możemy zaznaczyć na niej jeszcze jakieś inne punkty? Oczywiście, że tak. Będzie to na przykład punkt C. Zauważ, że ma on drugą współrzędną taką samą jak punkty A i B. Zastanówmy się, jak najlepiej opisać wszystkie inne punkty współliniowe z punktami A i B. Zauważ, że w tym przypadku punkty A i B mają taką samą drugą współrzędną. Oznacza to, że są na tej samej wysokości. Punkty leżące na tej prostej będą musiały być również na tej samej wysokości co punkty A i B. Będą miały zatem drugą współrzędną równą 2. A jaka może być pierwsza współrzędna? Dowolna. Prosta jest przecież nieskończona. Nie ma końca. Punktami współliniowymi będą zatem punkty A i B oraz na przykład punkt E o współrzędnych 100 i 2 albo F o współrzędnych –359 i 2 albo punkt G o współrzędnych 212 i 2. Spójrzmy teraz na inną sytuację. Punkt A ma współrzędne –2 i 2 punkt D ma współrzędne –2 i –3. Ile istnieje prostych przechodzących przez te 2 punkty? Wiesz już, że tylko jedna. Punkty A i D są współliniowe. Jakie współrzędne będą miały inne punkty współliniowe z punktami A i D? Która współrzędna będzie taka sama a która się zmieni? Punkty A i D mają taką samą pierwszą współrzędną. Druga jest inna. Wszystkie punkty współliniowe z punktami A i D będą miały pierwszą współrzędną równą –2. Będą to na przykład punkty o współrzędnych –2 i –1 –2 i –10 –2 i 1000 i 1/3. Teraz przejdźmy do jeszcze innej sytuacji. Widzisz punkty B i C które mają współrzędne odpowiednio 5 i 3 oraz 3 i 2. Istnieje tylko jedna prosta przechodząca przez te 2 punkty. Inne punkty leżące na tej prostej będą współliniowe z punktami B i C. Czy potrafisz podać współrzędne takich punktów? Czy tym razem zmieni się jedna współrzędna? Czy może obydwie? Jak myślisz? Analizując współrzędne punktów C i B dostrzegamy, że ich współrzędne x i y są różne. Jak zatem znaleźć współrzędne punktów współliniowych z punktami C i B? Zastanów się, jak najprościej wzdłuż linii siatki układu współrzędnych, możemy dojść z punktu B do C. Wystarczy zrobić 2 kroki w lewo i 1 w dół. Gdy od liczby 5 odejmiemy 2, otrzymamy 3 a gdy od liczby 3 odejmiemy 1 otrzymamy 2. Idźmy tak samo, ale startując z punktu C. Robiąc 2 kroki w lewo i 1 w dół otrzymamy punkt o współrzędnych 1 i 1. On też leży na tej prostej. Jest zatem współliniowy z punktami C i B. A teraz z punktu D pójdźmy dwukrotnie 2 kroki w lewo i dwukrotnie 1 w dół. Jakie współrzędne będzie miał punkt do którego dojdziemy? Obliczmy najpierw współrzędną x. Od liczby 1 odejmujemy 2 razy 2 bo 2 razy zrobiliśmy 2 kroki w lewo. Otrzymamy –3. Teraz obliczymy współrzędną y. Od liczby 1 odejmujemy 2 razy 1 bo 2 razy zrobiliśmy 1 krok w dół. Otrzymamy –1. Widzisz, że wszystko się zgadza. Wróćmy jeszcze do punktów C i B. Kilka chwil temu zastanawialiśmy się jak iść po liniach siatki od punktu B do C. Teraz zastanów się jak iść po tych liniach z punktu C do B. Aby dojść do punktu B z punktu C należy zrobić 2 kroki w prawo i 1 do góry. Jakie współrzędne będzie miał punkt do którego dojdziemy robiąc 2 kroki w prawo i 1 do góry startując z punktu B? Dodając do pierwszej współrzędnej liczbę 2 otrzymamy 7 a dodając do drugiej współrzędnej 1 otrzymamy 4. Punkt G o współrzędnych 7 i 4 jest współliniowy z pozostałymi punktami oznaczonymi na tej prostej. Teraz zastanówmy się nad takim zadaniem. Sprawdź, czy punkty: A o współrzędnych 1000 i 1003, B o współrzędnych 1004 i 1001 oraz C o współrzędnych 1016 i 993 są współliniowe. Wiemy, że dowolne 2 punkty są współliniowe a przez punkty współliniowe można poprowadzić wspólną prostą. Widzimy, że współrzędne naszych punktów są trudne do pokazania na rysunku. Postaramy się więc sprawdzić założenie rachunkowo. Przyjrzyjmy się prostej przechodzącej przez punkty A i B. Jaką drogę pokonujemy aby z punktu A dostać się do punktu B? Najpierw wzdłuż osi x musimy pokonać w prawo 1004 minus 1000, czyli 4 kroki. Potem w dół 1003 minus 1001 czyli 2 kroki. Droga wzdłuż osi x jest 2 razy dłuższa od tej wzdłuż osi y. To będzie prawda dla każdych dwóch punktów leżących na tej prostej. Sprawdźmy zatem, czy droga z punktu B do punktu C spełnia tę zależność? Wzdłuż osi x mamy 1016 minus 1004 czyli 12 kroków w prawo. Żeby zachować współliniowość, wzdłuż osi y musielibyśmy pokonać 2 razy mniej jednostek w dół. 12 podzielić przez 2, czyli 6. A ile to jest 1001 minus 6? 995. Współrzędna y punktu C to jednak 993. To oznacza, że ten punkt nie jest współliniowy z punktami A i B. Możemy zatem podać odpowiedź: punkty A, B i C nie są współliniowe. Każde 2 punkty wyznaczają jednoznacznie prostą. Na prostej oprócz tych dwóch punktów można znaleźć nieskończenie wiele innych. Punkty, które leżą na tej samej prostej nazywają się punktami współliniowymi. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych lekcji z tego działu. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv