Z tego filmu dowiesz się:

  • jak rozróżniać potęgi o tych samych wykładnikach,
  • jak pomnożyć potęgi o tym samym wykładniku,
  • jak podnieść do potęgi bardzo dużą liczbę.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Obliczyłem na kalkulatorze te 2 potęgi. 0,4 podniesione do potęgi piętnastej oraz 2 i 1/2 podniesione do potęgi piętnastej. Czy wiesz, że jak przemnożysz te 2 potęgi to w wyniku otrzymasz 1? Oto pierwszy przykład do obliczenia: 1/5 do potęgi trzeciej razy 5 do potęgi trzeciej. Jak wiesz, 1/5 do potęgi trzeciej to 3-krotnie przemnożona przez siebie liczba 1/5. Podstawą tej potęgi jest liczba 1/5 a wykładnik to 3. Mnożymy to razy 5 do potęgi trzeciej czyli 3-krotnie przemnożoną przez siebie liczbę 5. W wyniku otrzymujemy: 1/5 razy 1/5 razy 1/5 to 1/125 razy 5 razy 5 razy 5 czyli 125. Możesz sprawdzić wykonując te obliczenia u siebie na kartce. 1/125 razy 125, to jest 1. Pokażę Ci teraz szybszy sposób na rozwiązanie tego samego przykładu. Rozpisałem tutaj potęgi tak jak wyżej. Zauważ, że liczba 1/5 oraz liczba 5 są wymnożone przez siebie po 3 razy. Skorzystajmy teraz z prawa przemienności mnożenia. Zapiszę mnożenie tych liczb w innej kolejności. 1/5 razy 5 razy 1/5 razy 5 razy 1/5 razy 5 Zauważ, że mamy tutaj przemnożoną 3-krotnie przez siebie liczbę 1/5 oraz 3-krotnie liczbę 5. Zauważ też, że powstały nam 3 grupy 1/5 razy 5. Tu jest pierwsza grupa. Tu jest druga grupa a tu jest trzecia. Mamy zatem 1/5 razy 5 razy 1/5 razy 5, razy 1/5 razy 5. Mamy tutaj przemnożone przez siebie 3 grupy "1/5 razy 5". Dlaczego 3? Zauważ, że każda grupa to jest 1/5 razy 5. Wcześniej mieliśmy 3-krotnie przemnożoną przez siebie liczbę 1/5 oraz 3-krotnie przemnożoną przez siebie liczbę 5. Dlatego otrzymaliśmy właśnie 3 grupy. Czy mnożenie tych 3 grup możesz zapisać w postaci jednej potęgi? 1/5 razy 5 całość podnosimy do potęgi trzeciej ponieważ 1/5 razy 5 jest przemnożona przez siebie 3-krotnie. Obliczmy najpierw wartość wyrażenia w nawiasie czyli 1/5 razy 5 a to jest 1 a wynik mnożenia w nawiasie podnosimy jeszcze do potęgi trzeciej. 1 do potęgi trzeciej to 1. Oto, co otrzymaliśmy rozwiązując ten przykład przed chwilą: 1/5 do potęgi trzeciej razy 5 do potęgi trzeciej to jest to samo co 1/5 razy 5 w nawiasie podniesione do potęgi trzeciej. Uzyskaliśmy taki wynik ponieważ obie potęgi miały ten sam wykładnik równy 3 dlatego i 1/5, i liczba 5 były przemnożone przez siebie po 3 razy. Dlatego też w wyniku otrzymaliśmy 1/5 razy 5 przemnożoną przez siebie 3-krotnie. To, co widzisz tutaj, to mnożenie 2 potęg o tym samym wykładniku. Kiedy wykonujesz takie działanie możesz zastosować poniższy wzór. W naszym przykładzie a to była 1/5 b to było 5, a m to wspólny dla obu mnożonych potęg wykładnik. Tutaj to była liczba 3. W wyniku otrzymujemy przemnożone podstawy obu potęg 1/5 razy 5 i dopiero po wymnożeniu podstaw wykonujemy potęgowanie. Wspólny wykładnik który był w obu mnożonych potęgach pozostaje taki sam. Przemnożoną 1/5 razy 5 podnosimy do potęgi trzeciej. Pokażę Ci teraz, jak zastosować ten wzór w kilku przykładach. Oto pierwszy z nich: 1/17 podniesiona do potęgi czwartej razy 34 do potęgi czwartej. Zauważ, że mamy tutaj mnożenie 2 potęg o tym samym wykładniku równym 4. a to 1/17 b to 34. W wyniku tego mnożenia otrzymamy w nawiasie a razy b czyli 1/17 razy 34 podnosimy do potęgi czwartej. Jest to ten sam wykładnik co w obu mnożonych potęgach. Obliczamy wartość wyrażenia w nawiasie 1/17 razy 34/1. Ponieważ mamy mnożenie 2 ułamków możemy skrócić ze sobą 34 na 17 to 2 a 17 na 17 to 1. Musimy pamiętać o wykładniku. W nawiasie mamy 2/1, czyli 2. Całość podnosimy do potęgi czwartej a 2 do potęgi czwartej to 16. Drugi przykład dla Ciebie: Zauważ, że masz tutaj mnożenie 2 potęg o tym samym wykładniku dlatego możesz skorzystać z powyższego wzoru. Zatrzymaj film oblicz wartość tego mnożenia i odtwórz film ponownie. Tak jak wspomniałem możemy skorzystać z powyższego wzoru. W nawiasie otrzymamy 5 razy 2 czyli wymnożone podstawy obu potęg. Całość będzie podniesiona do potęgi szóstej. W wyniku otrzymujemy 10 do potęgi szóstej a to jest 1 000 000 - jeden i 6 zer. Poznany wzór możesz także wykorzystać w przypadku mnożenia dużych liczb. Na przykład 20 do potęgi piątej. Jak wiesz, 20 to jest to samo co 2 razy 10. 20 zapisałem jako 2 razy 10 a wykładnik pozostawiłem bez zmian. Zauważ, że w tym miejscu możesz wykorzystać poznany wzór ale w drugą stronę niż robiliśmy to przed chwilą. a to 2 b to 10 a m to 5 W wyniku otrzymam a do potęgi m czyli 2 do potęgi piątej razy b do potęgi m czyli 10 do potęgi piątej. 2 do potęgi piątej to 32. 10 do potęgi piątej, to 100 000. W wyniku tego mnożenia otrzymuję 3 200 000. Teraz przykład dla Ciebie: Oblicz, ile to jest 40 do potęgi trzeciej. Aby szybciej rozwiązać ten przykład możesz skorzystać z powyższego wzoru. Liczbę 40 możesz zamienić na 4 razy 10. Całość podnosimy do potęgi trzeciej. Po skorzystaniu ze wzoru otrzymasz: 4 do potęgi trzeciej razy 10 do potęgi trzeciej. 4 do potęgi trzeciej to 64 a 10 do potęgi trzeciej to 1 000. Wynik tego mnożenia to 64 000. Gdy mnożymy potęgi o tym samym wykładniku podstawy mnożymy a wykładnik pozostaje bez zmian. Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych filmów o potęgach oraz do odwiedzenia naszej strony Pistacja-tv.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Tymoteusz Zdunek

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Joanna Zalewska, Katarzyna Szczepańska, Angela Getler

Kontrola jakości: Andrzej Pieńkowski

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg